В клетки таблицы $m \times n$ вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Докажите, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в любом столбце и в любой строке, неотрицательны.
Подробнее
$n$ точек соединены непересекающимися отрезками так, что из каждой точки можно пройти в каждую из остальных по этим отрезкам, причем нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями. Докажите, что общее число отрезков равно $n - 1$.
Подробнее
Коля и Петя делят $2n + 1$ орехов, $n \geq 2$, причем каждый хочет получить возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.
(1-й и 2-й этапы общие для всех трех способов.)
3-й этап: при первом способе Коля берет большую и меньшую части; при втором способе Коля берет обе средние части; при третьем способе Коля берет либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдает Пете один орех.
Определите, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.
Подробнее
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Подробнее
В каждую клетку квадратной таблицы $n \times n$ где $n$ нечетно, вписано одно из чисел 1 или -1 (произвольным образом). Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце, справа от каждой из строк пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма всех $2n$ написанных произведений не равна нулю.
Подробнее
Даны положительные числа $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1 b_2, \cdots, b_n$, причем $a_1 + a_2 + \cdots + a_m = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$. Докажите, что в пустую таблицу из $m$ строк и $n$ столбцов можно поставить не более чем $m + n - 1$ положительное число так, чтобы сумма чисел в $i$-й строке равнялась $a_i$ сумма чисел в $k$-м столбце равнялась $b_k$.
Подробнее
Из пяти данных окружностей любые четыре проходят через одну точку. Докажите, что найдется точка, через которую проходят все пять окружностей.
Подробнее
В шахматном турнире участвовало 8 человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Подробнее
Шахматная доска размером $6 \times 6$ покрыта 18 костями домино размером $2 \times 1$ (каждая кость покрывает две клетки). Докажите, что при любом таком покрытии можно разрезать доску на две части по горизонтальной или вертикальной линии, не повредив ни одной кости домино.
Подробнее
Дан правильный 45-угольник. Можно ли расставить в его вершинах цифры 0, 1, 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами?
Подробнее
На плоскости нарисована сеть, образованная из правильных шестиугольников со стороной 1 (рис.). Жук, двигаясь по линиям сети, прополз из узла $A$ в узел $B$ по кратчайшему пути, равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз в одном направлении.
Подробнее
Имеется доска $3 \times 3$ клетки и 9 карточек размером в одну клетку, на которых написаны какие-то числа. Двое играющих по очереди кладут эти карточки на клетки доски. После того, как все карточки разложены, первый (начинающий) подсчитывает сумму шести чисел; стоящих в верхней и нижней строках, второй подсчитывает сумму шести чисел, стоящих в левом и правом столбцах. Выигрывает тот, у кого сумма больше. Докажите, что при правильной игре первого второй не сможет выиграть независимо от того, какие числа написаны на карточках.
Подробнее
Можно ли разместить 1965 точек в квадрате со стороной 1 так, чтобы любой прямоугольник площади 1/200 со сторонами, параллельными сторонам квадрата, содержал внутри хотя бы одну из этих точек?
Подробнее
Турист, приехавший в Москву на поезде, весь день бродил по городу. Поужинав в кафе на одной из площадей, он решил вернуться на вокзал и при этом идти только по улицам, по которым он шел до этого нечетное число раз. Докажите, что он всегда может это сделать.
Подробнее
а) Некая комиссия собиралась 40 раз. Каждый раз на заседаниях присутствовали по 10 человек, причем никакие два из членов комиссии не были вместе на заседаниях более одного раза.
Докажите, что число членов комиссии больше 60.
б) Докажите, что из 25 человек нельзя составить больше 30 комиссий по 5 человек в каждой, чтобы никакие две комиссии не имели больше одного общего члена.
Подробнее
