По периметру круглого торта диаметром $n/ \pi$ метров расположены $n$ вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на $n$ равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Подробнее
На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живет по 20 борцов. Был проведен турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня $А$ считается сильнее деревни $Б$, если хотя бы $k$ поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни $А$. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь $k$? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)
Подробнее
Разрежьте изображенную на рис. трапецию на три части и сложите из них квадрат.
Подробнее
На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки (прямоугольника $1 \times 2$), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили одну клетку, как показано на рис. Разрешается вынимать любую доминошку, а затем класть ее на две соседние пустые клетки. Докажите, что можно расположить все доминошки горизонтально.
Подробнее
Курс акций компании «Рога и копыта» каждый день в $12^{00}$ повышается или понижается на 17 процентов (курс не округляется). Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?
Подробнее
Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника - лузы, при попадании в которые шар там и остается. Из вершины с (внутренним) углом в $90^{\circ}$ выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернется.
Подробнее
Назовем натуральное число разрешенным, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из $2004!$ (т. е. $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2004$) камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешенное количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберет последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
Перед экстрасенсом лежит колода из 36 карт рубашкой вверх (четыре масти, по девять карт каждой масти). Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают и показывают ему. После этого экстрасенс называет масть следующей карты, и т. д. Задача экстрасенса - угадать масть как можно большее число раз.
Рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Помощник экстрасенса знает порядок карт в колоде, не может менять его, но может расположить рубашку каждой из карт тем или иным образом.
Мог ли экстрасенс так договориться с помощником, когда тот еще не знал порядок карт, чтобы обеспечить угадывание масти не менее чем a) 19 карт; б) 23 карты?
Если вы придумали способ угадывания другого количества карт, большего 19, то тоже напишите.
Подробнее
Назовем белыми числа вида $\sqrt {a + b \sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ - целые числа, не равные нулю. Аналогично, назовем черными числа вида $\sqrt {c + d \sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ - целые, не равные нулю числа. Может ли черное число равняться сумме нескольких белых?
Подробнее
Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причем первый из них - вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надежной, если при некотором начальном расположении стражников в каждый последующий момент времени хотя бы один из них находится возле бойницы.
а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?
б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надежной системы больше 1/2.
в) Докажите, что для любого числа $s > 1/2$ существует надежная система бойниц с суммарной длиной, меньшей $s$.
Подробнее
Клетчатый бумажный квадрат $8 \times 8$ согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик $1 \times 1$. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?
Подробнее
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Подробнее
На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
Подробнее
На окружности расставлено $n$ цифр, ни одна из которых не 0. Сеня и Женя переписывают себе в тетрадки $n -1$ цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими $(n - 1)$-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Подробнее
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Комментарий. Прямоугольник не годится, так как тангенсы его углов не определены.
Подробнее
