Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3573
2019-06-12 
На плоскости нарисована сеть, образованная из правильных шестиугольников со стороной 1 (рис.). Жук, двигаясь по линиям сети, прополз из узла $A$ в узел $B$ по кратчайшему пути, равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз в одном направлении.
Решение:
Занумеруем отрезки, по которым полз жук, по порядку Рассмотрим одно из трех направлений отрезков сети - назовем его горизонтальным. Докажем, что номера всех горизонтальных отрезков пути жука имеют одинаковую четность.
Пусть $a$ и $b$ - два соседних горизонтальных отрезка на этом пути, в том смысле, что путь между $a$ и $b$ состоит из отрезков двух других направлений. Ситуация, когда жук пересекает некоторую вертикальную полосу шестиугольников сначала «туда», а потом «обратно» (изображенная на рис.), невозможна: в этом случае путь жука можно было бы сократить (соединив точки $P$ и $Q$ пунктирной линией). Отсюда следует, что число промежуточных отрезков между $а$ и $b$ нечетно и что по этим отрезкам жук полз в одном направлении. Поэтому все вообще горизонтальные отрезки пути жука имеют номера одной четности (и жук ползет по ним в одном направлении).
Это относится и к отрезкам двух других направлений. Поскольку направлений всего три, то либо все отрезки с четными номерами, либо все отрезки с нечетными номерами имеют одинаковое направление. Таких отрезков ровно 50.
Любой путь жука по сети можно задать начальным узлом и «словом» из букв $p, q, r$ (каждая буква соответствует отрезкам пути, параллельным одному из трех направлений). Интересно описать слова, соответствующие замкнутым (приводящим в начальный узел) или несамопересекающимся путям.
На плоскости нарисована сеть, образованная из правильных шестиугольников со стороной 1 (рис.). Жук, двигаясь по линиям сети, прополз из узла $A$ в узел $B$ по кратчайшему пути, равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз в одном направлении.
Решение:
Занумеруем отрезки, по которым полз жук, по порядку Рассмотрим одно из трех направлений отрезков сети - назовем его горизонтальным. Докажем, что номера всех горизонтальных отрезков пути жука имеют одинаковую четность.
Пусть $a$ и $b$ - два соседних горизонтальных отрезка на этом пути, в том смысле, что путь между $a$ и $b$ состоит из отрезков двух других направлений. Ситуация, когда жук пересекает некоторую вертикальную полосу шестиугольников сначала «туда», а потом «обратно» (изображенная на рис.), невозможна: в этом случае путь жука можно было бы сократить (соединив точки $P$ и $Q$ пунктирной линией). Отсюда следует, что число промежуточных отрезков между $а$ и $b$ нечетно и что по этим отрезкам жук полз в одном направлении. Поэтому все вообще горизонтальные отрезки пути жука имеют номера одной четности (и жук ползет по ним в одном направлении).
Это относится и к отрезкам двух других направлений. Поскольку направлений всего три, то либо все отрезки с четными номерами, либо все отрезки с нечетными номерами имеют одинаковое направление. Таких отрезков ровно 50.
Любой путь жука по сети можно задать начальным узлом и «словом» из букв $p, q, r$ (каждая буква соответствует отрезкам пути, параллельным одному из трех направлений). Интересно описать слова, соответствующие замкнутым (приводящим в начальный узел) или несамопересекающимся путям.
