Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3531
2019-06-12 
В клетки таблицы $m \times n$ вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Докажите, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в любом столбце и в любой строке, неотрицательны.
Решение:
Среди всех таблиц, которые можно получить из данной переменами знаков в строках и столбцах, возьмем ту, для которой сумма $\Sigma$ максимальна. Такая таблица $T$ существует, поскольку всех способов расстановки знаков перед числами таблицы $m \times n$ конечное число - $2^{mn}$ (способов, которыми можно осуществить перемены знаков в строках и столбцах, еще меньше; $2^{m+n-1}$). В таблице $T$ сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце неотрицательна. В самом деле, если бы сумма чисел в некоторой строке (или столбце) таблицы $T$ была отрицательна, то, изменив знак в этой строке (столбце), мы получили бы таблицу с большей суммой $\sum$ всех чисел, что противоречит выбору таблицы $T$.
В клетки таблицы $m \times n$ вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Докажите, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в любом столбце и в любой строке, неотрицательны.
Решение:
Среди всех таблиц, которые можно получить из данной переменами знаков в строках и столбцах, возьмем ту, для которой сумма $\Sigma$ максимальна. Такая таблица $T$ существует, поскольку всех способов расстановки знаков перед числами таблицы $m \times n$ конечное число - $2^{mn}$ (способов, которыми можно осуществить перемены знаков в строках и столбцах, еще меньше; $2^{m+n-1}$). В таблице $T$ сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце неотрицательна. В самом деле, если бы сумма чисел в некоторой строке (или столбце) таблицы $T$ была отрицательна, то, изменив знак в этой строке (столбце), мы получили бы таблицу с большей суммой $\sum$ всех чисел, что противоречит выбору таблицы $T$.
