На планете, имеющей форму шара, живет один житель, который может передвигаться по поверхности планеты со скоростью, не большей $u$; к этой планете подлетает космический корабль, который может двигаться со скоростью $v$. Докажите, что если $v/u > 10$, то с корабля можно увидеть жителя планеты, как бы тот ни пытался скрыться.
Подробнее
На каждой из планет некоторой системы находится астроном, наблюдающий ближайшую планету. Расстояния между планетами попарно различны. Докажите, что если число планет нечетно, то какую-нибудь планету никто не наблюдает.
Подробнее
а) Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже его ростом. Докажите, что если шеренгу восьмиклассников выстроить по росту и шеренгу семиклассников тоже выстроить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.
б) Полк солдат выстроен в виде прямоугольника таким образом, что в каждой шеренге солдаты стоят по росту. Докажите, что если в каждой колонне перестроить солдат тоже по росту, то в каждой шеренге они по-прежнему будут стоять по росту.
Подробнее
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник $ABCD$, стороны которого лежат на линиях сетки, причем $AD$ в $k$ раз больше $AB$ ($k$ - целое число). Рассматриваются всевозможные пути, проходящие по линиям сетки и кратчайшим образом ведущие из $A$ в $C$. Докажите, что среди этих путей таких, в которых первое звено лежит на $AD$, в $k$ раз больше, чем таких, в которых первое звено лежит на $AB$.
Подробнее
В некотором городе для любых трех перекрестков $A, B$ и $C$ есть путь, ведущий из $A$ в $B$ и не проходящий через $C$. Докажите, что с любого перекрестка на любой другой ведут по крайней мере два непересекающихся пути (перекресток - место, где сходятся по крайней мере две улицы; в городе не меньше двух перекрестков).
Подробнее
На плоскости даны 100 точек. Докажите, что их можно покрыть нескольким и непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше 100 и расстояние между любыми двумя из которых больше единицы (расстояние между двумя непересекающимися кругами - это расстояние между их ближайшими точками).
Подробнее
Написано 20 чисел: $1, 2, \cdots, 20$. Двое играющих по очереди ставят перед этими числами знаки « + » или «-» (знак можно ставить перед любым свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы полученная после расстановки всех 20 знаков сумма была как можно меньше по модулю. Какую наибольшую по модулю сумму может обеспечить себе второй?
Подробнее
а) Можно лн на окружности расположить числа $0, 1, 2, \cdots 9$ так, чтобы любые два соседних отличались на 3, 4 или 5?
б) Можно ли на окружности расположить числа $1, 2, 3, \cdots, 13$ так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
Подробнее
Докажите, что существует число, делящееся на $5^{1000}$ и не содержащее в своей записи ни одного нуля.
Подробнее
На шахматной доске размером $1000 \times 1000$ стоит черный король и 499 белых ладей. Докажите, что при произвольном начальном расположении фигур король может стать под удар белой ладьи, как бы ни играли белые. (Ходы делаются так же, как и в обычных шахматах.)
Подробнее
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
Подробнее
Среди студентов, поступивших в Университет дружбы народов, ровно 50 человек знают английский язык, ровно 50 человек знают французский язык и ровно 50 человек знают испанский язык. Докажите, что студентов можно разбить на 5 (не обязательно равных) групп так, чтобы в каждой группе было ровно 10 человек, знающих английский язык, ровно 10 человек, знающих французский язык, и ровно 10 человек, знающих испанский язык. (Предполагается, что некоторые из студентов могут либо не знать ни одного из этих языков, либо знать любое количество из них.)
Подробнее
а) В клетках квадратной таблицы $4 \times4$ расставлены знаки « + » и «-», как показано на рис. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
б) На всех клетках шахматной доски $8 \times 8$ расставлены плюсы, за исключением одной не угловой клетки, где стоит минус. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали (в частности, в любой угловой клетке; диагональ - линия, по которой ходит шахматный слон). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить доску с одними плюсами.
Подробнее
После выступлений 20 фигуристов каждый из 9 судей по своему усмотрению распределяет среди них места с 1-го по 20-е. Оказалось, что у каждого фигуриста места, присвоенные ему разными судьями, отличаются не более чем на 3. Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом, и расположим эти числа в порядке возрастания: $c_1 \leq c_2 \leq c_3 \leq \cdots \leq c_{20}$. Какое наибольшее значение может иметь $c_1$?
Подробнее
На столе у учителя стоят весы. На весах стоят гири не обязательно одного веса, на каждой из которых написаны фамилии одного или нескольких учеников. Ученик, входя в класс, переставляет на другую чашку весов каждую гирю, на которой написана его фамилия. Докажите, что можно впустить в класс таких учеников, чтобы в результате перевесила не та чашка весов, которая перевешивала вначале.
Подробнее
