Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3581
2019-06-12 
Имеется доска $3 \times 3$ клетки и 9 карточек размером в одну клетку, на которых написаны какие-то числа. Двое играющих по очереди кладут эти карточки на клетки доски. После того, как все карточки разложены, первый (начинающий) подсчитывает сумму шести чисел; стоящих в верхней и нижней строках, второй подсчитывает сумму шести чисел, стоящих в левом и правом столбцах. Выигрывает тот, у кого сумма больше. Докажите, что при правильной игре первого второй не сможет выиграть независимо от того, какие числа написаны на карточках.
Решение:
Пусть $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_9$ - числа, написанные на карточках. Если $a_1 + a_9 > a_2 + a_8$, то первый ставит число в клетку 2 (рис.), а вторым своим ходом - число $a_2$ (или $a_1$) в одну из клеток 1 или 4. Если $a_1 + a_9 < a_2 + a_8$, то первый ставит число $a_1$ в клетку 2, а вторым своим ходом - число $a_9$ (или $a_8$) в одну из клеток 1 или 4. Если $a_1 + a_9 = a_2 + a_8$, то первый может применить любую из описанных выше стратегий (при правильной игре второго результат игры в этом случае - ничья).
Имеется доска $3 \times 3$ клетки и 9 карточек размером в одну клетку, на которых написаны какие-то числа. Двое играющих по очереди кладут эти карточки на клетки доски. После того, как все карточки разложены, первый (начинающий) подсчитывает сумму шести чисел; стоящих в верхней и нижней строках, второй подсчитывает сумму шести чисел, стоящих в левом и правом столбцах. Выигрывает тот, у кого сумма больше. Докажите, что при правильной игре первого второй не сможет выиграть независимо от того, какие числа написаны на карточках.
Решение:
Пусть $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_9$ - числа, написанные на карточках. Если $a_1 + a_9 > a_2 + a_8$, то первый ставит число в клетку 2 (рис.), а вторым своим ходом - число $a_2$ (или $a_1$) в одну из клеток 1 или 4. Если $a_1 + a_9 < a_2 + a_8$, то первый ставит число $a_1$ в клетку 2, а вторым своим ходом - число $a_9$ (или $a_8$) в одну из клеток 1 или 4. Если $a_1 + a_9 = a_2 + a_8$, то первый может применить любую из описанных выше стратегий (при правильной игре второго результат игры в этом случае - ничья).
