Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3536
2019-06-12 
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Решение:
Центр круга диаметра 1, целиком помещающегося внутри прямоугольника, должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от любой из сторон прямоугольника, т. е. внутри «рамки», изображенной на рис. а. Площадь внутреннего прямоугольника равна $19 \cdot 24 = 456$.
Кроме того, центр круга должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от контура любого из квадратов, т. е. вне каждой фигурки площади $3 + \frac{ \pi}{4}$, изображенной на рис.б. Даже если эти фигурки не пересекаются и не задевают рамку, их суммарная площадь равна $120 \left (3 + \frac{ \pi}{4} \right ) = 360 + 30 \pi < 360 + 30 \times 3,2 = 456$.
Таким образом, этими фигурами покрыть прямоугольник площади 456 нельзя и, следовательно, найдется круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Решение:
Центр круга диаметра 1, целиком помещающегося внутри прямоугольника, должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от любой из сторон прямоугольника, т. е. внутри «рамки», изображенной на рис. а. Площадь внутреннего прямоугольника равна $19 \cdot 24 = 456$.
Кроме того, центр круга должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от контура любого из квадратов, т. е. вне каждой фигурки площади $3 + \frac{ \pi}{4}$, изображенной на рис.б. Даже если эти фигурки не пересекаются и не задевают рамку, их суммарная площадь равна $120 \left (3 + \frac{ \pi}{4} \right ) = 360 + 30 \pi < 360 + 30 \times 3,2 = 456$.
Таким образом, этими фигурами покрыть прямоугольник площади 456 нельзя и, следовательно, найдется круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
