Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3541
2019-06-12 
В каждую клетку квадратной таблицы $n \times n$ где $n$ нечетно, вписано одно из чисел 1 или -1 (произвольным образом). Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце, справа от каждой из строк пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма всех $2n$ написанных произведений не равна нулю.
Решение:
Пусть $p_1, p_2, \cdots, p_n$ - произведения по строкам, $q_1, q_2, \cdots, q_n$ - по столбцам. Тогда $p_1p_2 \cdots p_n = q_1q_2 \cdots q_n$ - мы двумя способами вычисляем произведение всех чисел в таблице. Значит, четность количества -1 среди $p_1, p_2, \cdots, p_n$ та же, что и среди $q_1, q_2, \cdots, q_n$, т. е. всего среди $2n$ чисел $p_1, p_2, \cdots, p_n, q_1, q_2, \cdots, q_n$ четное число -1 и тем самым четное число +1. Но тогда число тех и других различно (так как $n$ нечетно) и потому сумма $p_1 + p_2 + \cdots + p_n + q_1 + q_2 + \cdots + q_n$ не равна 0.
Эта сумма может отличаться от $2n$ лишь на число $d$, кратное 4. Интересно, построив соответствующие примеры, выяснить, для любого ли $d = 4k, |k| < n/2$, сумма может равняться $2n - d$.
В каждую клетку квадратной таблицы $n \times n$ где $n$ нечетно, вписано одно из чисел 1 или -1 (произвольным образом). Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце, справа от каждой из строк пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма всех $2n$ написанных произведений не равна нулю.
Решение:
Пусть $p_1, p_2, \cdots, p_n$ - произведения по строкам, $q_1, q_2, \cdots, q_n$ - по столбцам. Тогда $p_1p_2 \cdots p_n = q_1q_2 \cdots q_n$ - мы двумя способами вычисляем произведение всех чисел в таблице. Значит, четность количества -1 среди $p_1, p_2, \cdots, p_n$ та же, что и среди $q_1, q_2, \cdots, q_n$, т. е. всего среди $2n$ чисел $p_1, p_2, \cdots, p_n, q_1, q_2, \cdots, q_n$ четное число -1 и тем самым четное число +1. Но тогда число тех и других различно (так как $n$ нечетно) и потому сумма $p_1 + p_2 + \cdots + p_n + q_1 + q_2 + \cdots + q_n$ не равна 0.
Эта сумма может отличаться от $2n$ лишь на число $d$, кратное 4. Интересно, построив соответствующие примеры, выяснить, для любого ли $d = 4k, |k| < n/2$, сумма может равняться $2n - d$.
