Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их ребра параллельны ребрам коробки)?
Подробнее
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. В распоряжении двух игроков имеются краски $k$ цветов. Первый игрок красит каждый отрезок в один из $k$ цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если а) $k = 7$, б) $k = 10$.
Подробнее
Доска размером $2005 \times 2005$ разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами $1, 2, \cdots$ так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. Расстояние между клетками - это расстояние между их центрами.
Подробнее
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает $n$ точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за $(n + 1)^2$ попыток?
Подробнее
В теннисном турнире принимают участие $2n$ участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказывается сыгранными $n$ игр парами игроков. Показать, что количество пар в первом круге может быть составлено в точности
$1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \times \cdots \times (2n - 1)$
различными способами.
Подробнее
Среди дедушкиных бумаг был обнаружен счет:
72 индюшки -67,9- долларов.
Первая и последняя цифры числа, которое, очевидно, представляло собой общую цену этих птиц, заменены здесь тире, поскольку они стерлись и стали неразборчивыми.
Каковы две стершиеся цифры, и сколько стоил один индюк?
Подробнее
Рассмотрим таблицу:
$1 = 1$,
$2+3+4=1+8$,
$5+6+7+8+9 = 8+27$,
$10+11+12+13+14+ 15+16 = 27+64$.
Установите общий закон, заложенный в этом примере, выразите его математически и докажите.
Подробнее
У Боба 10 карманов и 44 серебряных доллара. Он хочет распределить доллары по своим карманам так, чтобы в каждом кармане содержалось различное количество долларов.
(A) Сможет ли он сделать это?
(B) Обобщите проблему, полагая количество карманов равным и количество долларов равным $n$.
Проблема наиболее интересна, когда
$n = \frac{(p+1)(p-2)}{2}$.
Почему?
Подробнее
Боб хочет иметь кусок земли идеально ровный, который ограничен четырьмя линиями. Две граничные линии идут строго на север-юг, две другие - строго на восток-запад, и каждая граничная линия измеряется точно 100 футами. Сможет Боб купить такой кусок земли в США? Обоснуйте!
Подробнее
Я утверждаю, что вы можете заплатить 50 центов в точности 50-ю различными способами. (Способ зависит от того, как много монет каждого вида - центов, пятицентовых монет, десятицентовых монет, четверть- и полдолларовых монет вы используете). Сколькими способами вы можете заплатить 25 центов? Прав ли я относительно 50 центов? Подтвердите ваш ответ как можно более четко и ясно.
Подробнее
Сколько лет капитану, сколько у него детей и какова длина его корабля? Дано число 32118, являющееся произведением трех искомых чисел (целых). Длина корабля дана в футах (и равна нескольким футам), капитан имеет двоих сыновей и дочерей, ему больше лет, чем детям, но ему еще не сто лет.
Подробнее
Экзамены по трем предметам: алгебре, биологии и химии сдавали 41 студент. Следующая таблица показывает, сколько студентов провалились на каждом предмете, и их различные комбинации:
Предмет А Б Х АБ АХ БХ АБХ
Количество 12 5 8 2 6 3 1
(К примеру, 5 студентов провалились по биологии, среди них 3 провалившихся как по биологии, так и по химии, и только один из этих 3 провалился по всем трем предметам).
Сколько студентов сдали все три экзамена?
(Можете ли вы обдумать подходящую диаграмму, которая прояснила бы лежащую в основе идею?).
Подробнее
"Сколько у Вас детей и сколько им лет?" - спросил гость у учителя математики. "У меня три мальчика, - сказал м-р Смит. - Произведение их лет равно 72, а сумма их лет равна номеру улицы". Гость пошел посмотреть номер, вернулся и сказал: "Проблема не определена". "Да, это так, - сказал м-р Смит, - но я все еще надеюсь, что старший мальчик однажды выиграет конкурс Стэнфордского Университета". Назовите возраст мальчиков, излагая ваши соображения.
Подробнее
Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (рис.). Докажите, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. (Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но ее вершины не должны лежать на отрезках, а стороны - проходить через вершины фигуры.)
Подробнее
Дана таблица $4 \times 4$ клетки, в некоторых клетках которой расставляются звездочки. Докажите, что можно так расставить семь звездочек, что при вычеркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда будет хотя бы одна звездочка. Докажите, что если звездочек меньше чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
Подробнее
