Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3534
2019-06-12 
Коля и Петя делят $2n + 1$ орехов, $n \geq 2$, причем каждый хочет получить возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.
(1-й и 2-й этапы общие для всех трех способов.)
3-й этап: при первом способе Коля берет большую и меньшую части; при втором способе Коля берет обе средние части; при третьем способе Коля берет либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдает Пете один орех.
Определите, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.
Решение:
Какие бы кучи (из $a$ и $b$ орехов, $a < b$) ни образовались после первого хода Пети, Коля может большую из них разбить на две части по 1 и $b - 1$ орехов, которые окажутся наибольшей и наименьшей, т. е. при первом способе дележа забрав $b \geq n + 1$ орехов. (Взяв $a = n, b = n + 1$, Петя помешает ему добиться большего.) При втором способе дележа после первого хода $a = 2, b = 2n + 1$ и наилучшем ответе $2 = 1 + 1, 2n - 1 = n - 1 + n$. Коле достанется лишь $n$ орехов. (Но при любом другом первом ходе он может получить не меньше $n + 1$.) При третьем способе ход Пети $а = n, b = n + 1$ не позволяет Коле добиться большего, чем забрать себе $n + 1$ орех (суммы двух средних кучек и двух крайних всегда будут как раз $n$ и $n + 1$), так что лишний орех, который нужно отдать, оказывается решающим.
Ответ: самый выгодный для Коли способ - первый; при втором и третьем он получит, при правильной игре, на орех меньше. (Вообще, как мы видим, спор в этом дележе идет из-за одного ореха.)
Коля и Петя делят $2n + 1$ орехов, $n \geq 2$, причем каждый хочет получить возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.
(1-й и 2-й этапы общие для всех трех способов.)
3-й этап: при первом способе Коля берет большую и меньшую части; при втором способе Коля берет обе средние части; при третьем способе Коля берет либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдает Пете один орех.
Определите, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.
Решение:
Какие бы кучи (из $a$ и $b$ орехов, $a < b$) ни образовались после первого хода Пети, Коля может большую из них разбить на две части по 1 и $b - 1$ орехов, которые окажутся наибольшей и наименьшей, т. е. при первом способе дележа забрав $b \geq n + 1$ орехов. (Взяв $a = n, b = n + 1$, Петя помешает ему добиться большего.) При втором способе дележа после первого хода $a = 2, b = 2n + 1$ и наилучшем ответе $2 = 1 + 1, 2n - 1 = n - 1 + n$. Коле достанется лишь $n$ орехов. (Но при любом другом первом ходе он может получить не меньше $n + 1$.) При третьем способе ход Пети $а = n, b = n + 1$ не позволяет Коле добиться большего, чем забрать себе $n + 1$ орех (суммы двух средних кучек и двух крайних всегда будут как раз $n$ и $n + 1$), так что лишний орех, который нужно отдать, оказывается решающим.
Ответ: самый выгодный для Коли способ - первый; при втором и третьем он получит, при правильной игре, на орех меньше. (Вообще, как мы видим, спор в этом дележе идет из-за одного ореха.)
