Вертикальная $U$-образная трубка постоянного поперечного сечения жёстко закреплена, и в неё налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным $T_{3}$. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считайте, что ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Подробнее
Одно колено гладкой $U$-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью $S$ вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом $\alpha$. В трубку налили жидкость плотностью $\rho$ и массой $M$ так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
К внутренней поверхности тонкостенного обруча прикреплён небольшой шарик (см. рисунок). Масса обруча равна $M$, масса шарика $m$ ($m$ и $M$ одного порядка), радиус обруча $R$. Обруч может без проскальзывания кататься по горизонтальной поверхности. Чему равен период колебаний обруча около положения равновесия в случае малых амплитуд? Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
На обруч намотана нерастяжимая невесомая нить, один конец которой прикреплён к потолку непосредственно, а другой через невесомую пружину (см. рисунок). Масса обруча равна $m$, жёсткость пружины $k$. Если обруч немного сместить из положения равновесия вниз и отпустить, то возникнут колебания, при которых обруч будет двигаться вертикально и при этом вращаться. Найдите частоту этих колебаний.
Подробнее
На невесомую нерастяжимую нить длиной $2l$, концы которой закреплены на одной высоте, надета гайка. Под тяжестью гайки нить провисает на величину $h$. Найдите период $T$ малых колебаний гайки вдоль нити. Трение гайки о нить отсутствует.
Подробнее
Два кубика одинаковой массы прикреплены к концам нерастяжимой невесомой нити, продетой через отверстие в горизонтальной плоскости. Верхний кубик скользит по плоскости по круговой траектории с угловой скоростью $\omega$ так, что нижний кубик неподвижен (см. рисунок). Трения нет. Если слегка дёрнуть за нижний кубик в вертикальном направлении, то возникнут малые колебания. Найдите их частоту $\Omega$.
Подробнее
Маленький шарик закреплён на двух одинаковых пружинах, имеющих в растянутом состоянии длину $l$. Шарик толкнули, и он начал совершать периодическое движение малой амплитуды по траектории в форме «восьмёрки» (см. рисунок). При какой длине нерастянутой пружины $l_{0}$ такое движение возможно? Система находится в невесомости.
Подробнее
Верхний конец жёсткого вертикального металлического стержня длиной $l$ колеблется с малой амплитудой $a$ и большой частотой $\omega$, в то время как нижний его конец шарнирно закреплён. На стержень надето и припаяно на равных расстояниях друг от друга большое количество маленьких колец. В некоторый момент времени стержень сильно нагревают, припой расплавляется, и кольца получают возможность свободно двигаться вдоль стержня. Какая часть колец останется на стержне через большой промежуток времени?
Подробнее
Шар массой $m = 1 кг$, прикреплённый к идеальной пружине жёсткостью $k = 50 Н/м$, колеблется в вязкой среде. На рисунках представлены графики зависимостей скорости $v$ от координаты $x$ и ускорения $a$ от скорости, соответствующие движению шара (начало координат выбрано в положении его равновесия). Начертите график зависимости силы вязкого трения, действующей на шар, от его скорости.
Подробнее
На горизонтальной поверхности лежит грузик массой $m$, соединённый с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью $k$. Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu \ll 1$. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начальной скорости грузик совершил много колебаний и прошёл до остановки путь $S$. Оцените время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считайте силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.
Подробнее
Два одинаковых биллиардных шара подвешены на одной высоте на длинных нитях, закрепленных водной точке (см. рисунок). Шары разводят симметрично на расстояние, малое по сравнению с их радиусами, и отпускают без начальной скорости, после чего наблюдают их соударения. Вначале удары происходят через время $\Delta T_{0}$, но поскольку при каждом ударе теряется энергия, частота соударений растёт с течением времени. Найдите закон этого роста, считая, что коэффициент восстановления скорости шаров при ударе (постоянная величина, равная отношению скоростей каждого шара после и до удара) равен $k$, и пренебрегая временем удара. Известно, что $1 — k \ll 1$.
Подробнее
Объём жидкости, налитой в показанный на рисунке сосуд сложной формы, равняется $V$, а площадь её свободной поверхности составляет $S$. Точка $M$ закреплена в данном сосуде на глубине $h$ под поверхностью жидкости. Из-за повышения температуры жидкость равномерно расширяется так, что её объём увеличивается на 1%. При каком условии давление в точке $M$ окажется неизменным? Расширением сосуда пренебречь.
Подробнее
Сосуд сложной формы (см. рисунок) наполнен газом под давлением $p$. Одно из сечений этого сосуда имеет форму круга радиусом $b$. Рассмотрим левую часть сосуда, ограниченную этим сечением. Чему равна и куда направлена сила, действующая со стороны газа на эту часть сосуда?
Подробнее
Отверстие в горизонтальном дне сосуда закрыто лёгким полусферическим колпачком радиусом $R$ (см. рисунок). Сосуд наполнен жидкостью плотностью $\rho$. Дно находится на глубине $H$. Найдите силу, с которой колпачок давит на дно сосуда. Ускорение свободного падения равно $g$. Объём шара радиусом $R$ равен $4 \pi R^{3}/3$.
Подробнее
В боковой стенке бутылки проделано маленькое отверстие, в которое вставлена затычка. В бутылку наливают воду и закрывают её горлышко пробкой, через которую пропущена трубка. Длина трубки подобрана таким образом, что её нижний конец находится выше отверстия в стенке бутылки, но ниже поверхности воды, а верхний конец сообщается с атмосферой. Затычку из отверстия в боковой стенке вынимают, и из него начинает вытекать вода. Через некоторое время поток воды из отверстия устанавливается, и вода вытекает с постоянной скоростью. Найдите давление воздуха $p$, находящегося в бутылке, в тот момент, когда нижний конец трубки находится на глубине $h = 5 см$ от поверхности воды. Плотность воды $\rho = 1 000 кг/м^{3}$, атмосферное давление $p_{0} = 100 000 Па$, ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Подробнее
