Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1107
2016-09-19 
Два одинаковых биллиардных шара подвешены на одной высоте на длинных нитях, закрепленных водной точке (см. рисунок). Шары разводят симметрично на расстояние, малое по сравнению с их радиусами, и отпускают без начальной скорости, после чего наблюдают их соударения. Вначале удары происходят через время $\Delta T_{0}$, но поскольку при каждом ударе теряется энергия, частота соударений растёт с течением времени. Найдите закон этого роста, считая, что коэффициент восстановления скорости шаров при ударе (постоянная величина, равная отношению скоростей каждого шара после и до удара) равен $k$, и пренебрегая временем удара. Известно, что $1 — k \ll 1$.
Решение:
При малых колебаниях шаров в промежутках между соударениями отклонение от вертикали $x$ и скорость $v$ каждого из шаров изменяются со временем $t$ по гармоническому закону. Рассмотрим сначала интервал времени перед первым соударением. Будем считать, что при $t = 0$ центры шаров находятся на максимальном удалении $A = R + \Delta x$ от вертикали, где $R$ — радиус шара. Так как столкновения частые, то $\Delta x \ll R$ и можно считать, что $A \approx R$. Тогда в промежутках между соударениями $x = R \cos \omega t$ и $v = — R \omega \sin \omega t$, где $\omega = \sqrt{g/l}$ ($l$ — длина нити, намного большая $R$). Первое соударение произойдёт через время $t = \Delta T_{0}/2$. Скорость шара непосредственно перед первым столкновением будет равна по величине $v_{0} = R \omega \sin \frac{ \omega \Delta T_{0}}{2} \approx \frac{R \omega^{2} \Delta T_{0}}{2}$, а сразу после него составит $v_{1} = kv_{0}$.
Рассуждая аналогично, можно показать, что скорость шара перед $(n + 1)$-м соударением равна $v_{n} \approx \frac{R \omega^{2} \Delta T_{n}}{2}$, где $\Delta T_{n}$ — промежуток времени между $n$-м и $(n + 1)$-м соударениями, причём $v_{n+1} = kv_{n}$. Отсюда, последовательно полагая $n = 1, 2, 3, \cdots$ получим:
$\Delta T_{1} = \frac{v_{1}}{v_{0}} \Delta T_{0} = k \Delta T_{0}, \Delta T_{2} = \frac{v_{2}}{v_{1}} \Delta T_{1} = k^{2} \Delta T_{0}, \cdots$
$\Delta T_{n} = \frac{v_{n}}{v_{n-1}} \Delta T_{n-1} = k^{n} \Delta T_{0}$, и так далее.
Теперь можно найти длительность интервала времени, которое займут первые $n$ соударений:
$t_{n} = \Delta T_{0} + \Delta T_{1} + \Delta T_{2} + \cdots + \Delta T_{n-1} = \Delta T_{0} (1 + k + k^{2} + \cdots + k^{n-1}) = \frac{1-k^{n}}{1-k} \Delta T_{0} = \frac{ \Delta T_{0} - \Delta T_{n}}{1-k}$
(для вычисления последний суммы мы воспользовались формулой для суммы первых $n$ членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда $\Delta T_{n} = \Delta T_{0} — (1 — k)t_{n}$, и частота соударений $f_{n} = \frac{1}{ \Delta T_{n}} = \frac{1}{ \Delta T_{0} - (1 - k) t_{n}}$. При $n \gg 1$, когда удары происходят очень часто, промежутки времени $\Delta T_{n}$ между соударениями очень малы, и поэтому в последней формуле можно заменить величину $t_{n}$n на время $t$. Тогда искомый закон роста частоты со временем имеет вид:
$f(t) = \frac{1}{ \Delta T_{0} - (1 - k)t}$.
Заметим, что частота возрастает с течением времени по гиперболическому закону, то есть сначала достаточно медленно, а потом всё быстрее и быстрее. Поэтому, если поднести к сталкивающимся шарам микрофон, подключённый к звукоусилительной системе, то будут слышны отдельные резкие удары, частота которых будет всё быстрее и быстрее увеличиваться, и вскоре будет слышен лишь непрерывный гул с возрастающей частотой.
Два одинаковых биллиардных шара подвешены на одной высоте на длинных нитях, закрепленных водной точке (см. рисунок). Шары разводят симметрично на расстояние, малое по сравнению с их радиусами, и отпускают без начальной скорости, после чего наблюдают их соударения. Вначале удары происходят через время $\Delta T_{0}$, но поскольку при каждом ударе теряется энергия, частота соударений растёт с течением времени. Найдите закон этого роста, считая, что коэффициент восстановления скорости шаров при ударе (постоянная величина, равная отношению скоростей каждого шара после и до удара) равен $k$, и пренебрегая временем удара. Известно, что $1 — k \ll 1$.
Решение:
При малых колебаниях шаров в промежутках между соударениями отклонение от вертикали $x$ и скорость $v$ каждого из шаров изменяются со временем $t$ по гармоническому закону. Рассмотрим сначала интервал времени перед первым соударением. Будем считать, что при $t = 0$ центры шаров находятся на максимальном удалении $A = R + \Delta x$ от вертикали, где $R$ — радиус шара. Так как столкновения частые, то $\Delta x \ll R$ и можно считать, что $A \approx R$. Тогда в промежутках между соударениями $x = R \cos \omega t$ и $v = — R \omega \sin \omega t$, где $\omega = \sqrt{g/l}$ ($l$ — длина нити, намного большая $R$). Первое соударение произойдёт через время $t = \Delta T_{0}/2$. Скорость шара непосредственно перед первым столкновением будет равна по величине $v_{0} = R \omega \sin \frac{ \omega \Delta T_{0}}{2} \approx \frac{R \omega^{2} \Delta T_{0}}{2}$, а сразу после него составит $v_{1} = kv_{0}$.
Рассуждая аналогично, можно показать, что скорость шара перед $(n + 1)$-м соударением равна $v_{n} \approx \frac{R \omega^{2} \Delta T_{n}}{2}$, где $\Delta T_{n}$ — промежуток времени между $n$-м и $(n + 1)$-м соударениями, причём $v_{n+1} = kv_{n}$. Отсюда, последовательно полагая $n = 1, 2, 3, \cdots$ получим:
$\Delta T_{1} = \frac{v_{1}}{v_{0}} \Delta T_{0} = k \Delta T_{0}, \Delta T_{2} = \frac{v_{2}}{v_{1}} \Delta T_{1} = k^{2} \Delta T_{0}, \cdots$
$\Delta T_{n} = \frac{v_{n}}{v_{n-1}} \Delta T_{n-1} = k^{n} \Delta T_{0}$, и так далее.
Теперь можно найти длительность интервала времени, которое займут первые $n$ соударений:
$t_{n} = \Delta T_{0} + \Delta T_{1} + \Delta T_{2} + \cdots + \Delta T_{n-1} = \Delta T_{0} (1 + k + k^{2} + \cdots + k^{n-1}) = \frac{1-k^{n}}{1-k} \Delta T_{0} = \frac{ \Delta T_{0} - \Delta T_{n}}{1-k}$
(для вычисления последний суммы мы воспользовались формулой для суммы первых $n$ членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда $\Delta T_{n} = \Delta T_{0} — (1 — k)t_{n}$, и частота соударений $f_{n} = \frac{1}{ \Delta T_{n}} = \frac{1}{ \Delta T_{0} - (1 - k) t_{n}}$. При $n \gg 1$, когда удары происходят очень часто, промежутки времени $\Delta T_{n}$ между соударениями очень малы, и поэтому в последней формуле можно заменить величину $t_{n}$n на время $t$. Тогда искомый закон роста частоты со временем имеет вид:
$f(t) = \frac{1}{ \Delta T_{0} - (1 - k)t}$.
Заметим, что частота возрастает с течением времени по гиперболическому закону, то есть сначала достаточно медленно, а потом всё быстрее и быстрее. Поэтому, если поднести к сталкивающимся шарам микрофон, подключённый к звукоусилительной системе, то будут слышны отдельные резкие удары, частота которых будет всё быстрее и быстрее увеличиваться, и вскоре будет слышен лишь непрерывный гул с возрастающей частотой.
