В треугольнике $ABC$ даны величины углов $\angle B=12^{\circ}$, $\angle C=132^{\circ}$ (
треугольник Боттемы). Проведены внешние биссектрисы $BM$ и $CN$ этих углов до пересечения с продолжениями противоположных сторон. Сравните длины этих биссектрис, не используя тригонометрические функции
Подробнее
В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают
Подробнее
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, причём $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^{\circ}$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$
Подробнее
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ - диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$ Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника $BACE$, если известно, что $CD=1$, $BD=3$
Подробнее
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ - диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, повторно пересекает $\Omega$ в точке $F$. Найдите радиусы окружностей, угол $AFE$ и площадь треугольника $AEF$, если известно, что $CD=8$, $BD=17$
Подробнее
Даны равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD$ и $BC$ - основания, $AD\gt BC$) и окружность $\omega$ с центром $C$, касающаяся стороны $AD$. Касательные к $\omega$, проведённые из точки $B$, пересекают прямую $AD$ в точках $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит между $Q$ и $D$). На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана такая точка $N$, что угол $CPN$ прямой. Найдите углы $ADC$, $NQC$ и площадь четырёхугольника $NCDQ$, если известно, что $\angle NCP=arctg\frac{12}{5}$, $AP=\frac{13}{2}$, $NC=13$
Подробнее
Вася нарисовал треугольник и отметил середины его сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами. Некоторые из этих девяти точек могли совпасть - всего получилось $k$ различных точек. При каких $k$ могло оказаться, что эти точки являются вершинами правильного $k$-угольника
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ находится окружность $\omega$, касающаяся стороны $BC$ в той же точке, что и вписанная в треугольник $ABC$ окружность. Из точек $B$ и $C$ к окружности $\omega$ проведены касательные, пересекающиеся в точке $K$ и пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $M$. Докажите, что в четырёхугольник $APKM$ можно вписать окружность
Подробнее
В треугольнике $ABC$ взяты точки $M$, $N$ и $P$; $M$ и $N$ - на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, $P$ - на отрезке $MN$, причём $AM:MC=CN:NB=MP:PN$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площади треугольников $AMP$ и $BNP$ равны $T$ и $Q$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, а на отрезке $MN$ - точка $L$. Пусть площади треугольников $ABC$, $AML$ и $BNL$ равны соответственно $S$, $P$ и $Q$. Докажите, что
$\sqrt[{3}]{{S}}\geq\sqrt[{3}]{{P}}+\sqrt[{3}]{{Q}}$.
Подробнее
Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, $HD$ - биссектриса треугольника $BHC$, $E$ и $F$ - точки, симметричные точке $D$ относительно прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через середину дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если $\angle BAC=100^{\circ}$, то $AP+PB=BC$
Подробнее
Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 20. Найдите площадь треугольника, если вписанная окружность имеет радиус 4 и касается окружности, построенной на $AB$ как на диаметре
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы $A$, $C$, $E$ прямые. На стороне $AE$ выбрана точка $M$ так, что $\angle ABM+90^{\circ}=\angle CBM$ и $\angle EDM+90^{\circ}=\angle CDM$. Докажите, что прямая $CM$ делит периметр пятиугольника $ABCDE$ пополам
Подробнее
На медиане $BM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $CK=CM$. Известно, что $\angle CBM=2\angle ABM$. Докажите, что $BC=MK$
Подробнее
