Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16279
2026-02-17 
В треугольнике $ABC$ взяты точки $M$, $N$ и $P$; $M$ и $N$ - на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, $P$ - на отрезке $MN$, причём $AM:MC=CN:NB=MP:PN$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площади треугольников $AMP$ и $BNP$ равны $T$ и $Q$
Решение:
Обозначим $\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}=\frac{MP}{PN}=\lambda$. Тогда (см. задачу 6413)
$S_{\Delta MCP}=\frac{CM}{AM}S_{\Delta AMP}=\frac{T}{\lambda},~S_{\Delta NCP}=\frac{CN}{BN}S_{\Delta BNP}=\lambda Q,$
$S_{\Delta MCP}=\frac{MP}{PN}S_{\Delta NCP}=\lambda\cdot\lambda Q=\lambda^{2}Q.$
Из равенства $\frac{T}{\lambda}=\lambda^{2}Q$ получаем, что $T=\lambda^{3}Q$. Следовательно, $\lambda=\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}$.
Тогда (см. задачу 6419)
$S_{\Delta ABC}=\frac{CA}{CM}\cdot\frac{CB}{CN}S_{\Delta MCN}=(\lambda+1)\cdot\frac{\lambda+1}{\lambda}\cdot(S_{\Delta MCP}+S_{\Delta NCP})=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\frac{T}{\lambda}+\lambda Q\right)=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\lambda^{2}Q+\lambda Q\right)=(\lambda+1)^{3}Q=\left(\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}+1\right)^{3}Q=(\sqrt[{3}]{{T}}+\sqrt[{3}]{{Q}})^{3}$.
В треугольнике $ABC$ взяты точки $M$, $N$ и $P$; $M$ и $N$ - на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, $P$ - на отрезке $MN$, причём $AM:MC=CN:NB=MP:PN$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площади треугольников $AMP$ и $BNP$ равны $T$ и $Q$
Решение:
Обозначим $\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}=\frac{MP}{PN}=\lambda$. Тогда (см. задачу 6413)
$S_{\Delta MCP}=\frac{CM}{AM}S_{\Delta AMP}=\frac{T}{\lambda},~S_{\Delta NCP}=\frac{CN}{BN}S_{\Delta BNP}=\lambda Q,$
$S_{\Delta MCP}=\frac{MP}{PN}S_{\Delta NCP}=\lambda\cdot\lambda Q=\lambda^{2}Q.$
Из равенства $\frac{T}{\lambda}=\lambda^{2}Q$ получаем, что $T=\lambda^{3}Q$. Следовательно, $\lambda=\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}$.
Тогда (см. задачу 6419)
$S_{\Delta ABC}=\frac{CA}{CM}\cdot\frac{CB}{CN}S_{\Delta MCN}=(\lambda+1)\cdot\frac{\lambda+1}{\lambda}\cdot(S_{\Delta MCP}+S_{\Delta NCP})=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\frac{T}{\lambda}+\lambda Q\right)=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\lambda^{2}Q+\lambda Q\right)=(\lambda+1)^{3}Q=\left(\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}+1\right)^{3}Q=(\sqrt[{3}]{{T}}+\sqrt[{3}]{{Q}})^{3}$.
