Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16284
2026-02-17 
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы $A$, $C$, $E$ прямые. На стороне $AE$ выбрана точка $M$ так, что $\angle ABM+90^{\circ}=\angle CBM$ и $\angle EDM+90^{\circ}=\angle CDM$. Докажите, что прямая $CM$ делит периметр пятиугольника $ABCDE$ пополам
Решение:
Пусть $K$ - точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $BM$, а $L$ - точка, симметричная точке $E$ относительно прямой $DM$. Тогда треугольник $BKM$ равен треугольнику $BAM$, а треугольник $DLM$ - треугольнику $DEM$. Из условия следует, что
$\angle CBK=\angle CBM-\angle KBM=\angle CBM-\angle ABM=90^{\circ}.$
Аналогично, $\angle CDL=90^{\circ}$, а т.к. три угла четырёхугольника $BCDN$ ($N$ - точка пересечения прямых $BK$ и $DL$) прямые, это прямоугольник. Тогда три угла четырёхугольника $KMLN$ прямые, значит, и это прямоугольник.
Отсюда получаем
$AB=BK=BN+NK=CD+LM=CD+EM,$
$DE=DL=DN+NL=BC+MK=BC+AM.$
Следовательно,
$AM+AB+BC=AM+(CD+EM)+BC=(BC+AM)+CD+EM=DE+CD+EM.$
Что и требовалось доказать
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы $A$, $C$, $E$ прямые. На стороне $AE$ выбрана точка $M$ так, что $\angle ABM+90^{\circ}=\angle CBM$ и $\angle EDM+90^{\circ}=\angle CDM$. Докажите, что прямая $CM$ делит периметр пятиугольника $ABCDE$ пополам
Решение:
Пусть $K$ - точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $BM$, а $L$ - точка, симметричная точке $E$ относительно прямой $DM$. Тогда треугольник $BKM$ равен треугольнику $BAM$, а треугольник $DLM$ - треугольнику $DEM$. Из условия следует, что
$\angle CBK=\angle CBM-\angle KBM=\angle CBM-\angle ABM=90^{\circ}.$
Аналогично, $\angle CDL=90^{\circ}$, а т.к. три угла четырёхугольника $BCDN$ ($N$ - точка пересечения прямых $BK$ и $DL$) прямые, это прямоугольник. Тогда три угла четырёхугольника $KMLN$ прямые, значит, и это прямоугольник.
Отсюда получаем
$AB=BK=BN+NK=CD+LM=CD+EM,$
$DE=DL=DN+NL=BC+MK=BC+AM.$
Следовательно,
$AM+AB+BC=AM+(CD+EM)+BC=(BC+AM)+CD+EM=DE+CD+EM.$
Что и требовалось доказать
