Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16273
2026-02-17 
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, причём $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^{\circ}$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$
Решение:
а) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle CDE=\angle BAC+\angle AED=90^{\circ}+\alpha,$
$\angle DCE=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)-45^{\circ}=45^{\circ}-\alpha.$
Пусть $AD=3x$. Тогда
$AC=5x,~CD=2x,~DE=AD\sin\alpha=3x\sin\alpha.$
По теореме синусов
$\frac{CD}{\sin\angle CED}=\frac{DE}{\sin\angle DCE},~\mbox{или}~\frac{2x}{\sin45^{\circ}}=\frac{3x\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}-\alpha)},$
откуда
$2=\frac{3\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}~\mbox{или}~5\sin\alpha=2\cos\alpha.$
Следовательно, $tg\angle BAC=tg\alpha=\frac{2}{5}$.
б) По условию $5x=AC=\sqrt{29}$, потому $x=\frac{\sqrt{29}}{5}$. Тогда
$S_{\Delta CDE}=\frac{1}{2}DC\cdot DE\sin\angle CDE=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot3x\sin\alpha\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)=3x^{2}\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\sin2\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\cdot\frac{2tg\alpha}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{3}{2}\cdot\frac{29}{25}\cdot\frac{2\cdot\frac{2}{5}}{1+\frac{4}{25}}=\frac{6}{5}$.
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, причём $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^{\circ}$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$
Решение:
а) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle CDE=\angle BAC+\angle AED=90^{\circ}+\alpha,$
$\angle DCE=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)-45^{\circ}=45^{\circ}-\alpha.$
Пусть $AD=3x$. Тогда
$AC=5x,~CD=2x,~DE=AD\sin\alpha=3x\sin\alpha.$
По теореме синусов
$\frac{CD}{\sin\angle CED}=\frac{DE}{\sin\angle DCE},~\mbox{или}~\frac{2x}{\sin45^{\circ}}=\frac{3x\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}-\alpha)},$
откуда
$2=\frac{3\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}~\mbox{или}~5\sin\alpha=2\cos\alpha.$
Следовательно, $tg\angle BAC=tg\alpha=\frac{2}{5}$.
б) По условию $5x=AC=\sqrt{29}$, потому $x=\frac{\sqrt{29}}{5}$. Тогда
$S_{\Delta CDE}=\frac{1}{2}DC\cdot DE\sin\angle CDE=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot3x\sin\alpha\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)=3x^{2}\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\sin2\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\cdot\frac{2tg\alpha}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{3}{2}\cdot\frac{29}{25}\cdot\frac{2\cdot\frac{2}{5}}{1+\frac{4}{25}}=\frac{6}{5}$.
