Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16282
2026-02-17 
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если $\angle BAC=100^{\circ}$, то $AP+PB=BC$
Решение:
Углы при основании данного треугольника равны по $40^{\circ}$. На основании $BC$ отложим отрезок $BQ=BP$. Тогда углы при основании $PQ$ равнобедренного треугольника $BPQ$ равны по $80^{\circ}$, а
$\angle ABP=\angle CBP=20^{\circ}.$
Поскольку
$\angle BQP+\angle BAP=80^{\circ}+100^{\circ}=180^{\circ},$
четырёхугольник $APQB$ вписан в окружность. Равные вписанные углы $ABP$ и $QBP$ этой окружности опираются на равные хорды, т.е. $AP=PQ$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle APB=\angle PBC+\angle PCQ=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}.$
Значит,
$\angle CPQ=180^{\circ}-\angle APB-\angle BPQ=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}=\angle PCQ,$
поэтому треугольник $CPQ$ равнобедренный, $QC=QP$. Следовательно,
$AP+PB=PQ+BQ=QC+BQ=BC.$
Что и требовалось доказать
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если $\angle BAC=100^{\circ}$, то $AP+PB=BC$
Решение:
Углы при основании данного треугольника равны по $40^{\circ}$. На основании $BC$ отложим отрезок $BQ=BP$. Тогда углы при основании $PQ$ равнобедренного треугольника $BPQ$ равны по $80^{\circ}$, а
$\angle ABP=\angle CBP=20^{\circ}.$
Поскольку
$\angle BQP+\angle BAP=80^{\circ}+100^{\circ}=180^{\circ},$
четырёхугольник $APQB$ вписан в окружность. Равные вписанные углы $ABP$ и $QBP$ этой окружности опираются на равные хорды, т.е. $AP=PQ$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle APB=\angle PBC+\angle PCQ=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}.$
Значит,
$\angle CPQ=180^{\circ}-\angle APB-\angle BPQ=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}=\angle PCQ,$
поэтому треугольник $CPQ$ равнобедренный, $QC=QP$. Следовательно,
$AP+PB=PQ+BQ=QC+BQ=BC.$
Что и требовалось доказать
