Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$; $PK$ и $PM$ - биссектрисы треугольников $APD$ и $BPC$ соответственно, а $PL$ и $PN$ - биссектрисы треугольников $APB$ и $CPD$ соответственно. Докажите, что:
а) $DK\cdot AL\cdot BM\cdot CN=KA\cdot LB\cdot MC\cdot ND$;
б) отрезки $AM$, $BP$ и $CL$ пересекаются в одной точке; аналогично для отрезков $BN$, $CP$ и $DM$, для отрезков $AN$, $DP$ и $CK$, а также для отрезков $DL$, $BK$ и $PA$

Подробнее

В трапеции $ABCD$ из середины $M$ боковой стороны $BC$ опущен перпендикуляр $MH$ на сторону $AD$. Известно, что $AD=32$, $BC=25$, $MH=15$. Найдите площадь трапеции

Подробнее

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB\ne AC$. Докажите, что на его описанной окружности $\Omega$ найдётся такая точка $D$, что для любых точек $M$ и $N$, лежащих вне окружности $\Omega$ на лучах $AB$ и $AC$ соответственно и удовлетворяющих условию $BM=CN$, описанная окружность треугольника $AMN$ проходит через точку $D$

Подробнее

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $J$ - центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $JD$ и $JE$ соответственно. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$

Подробнее

Точки $M$, $N$ и $P$ лежат на сторонах соответственно $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$. Лучи $AM$, $BN$ и $CP$ пересекают описанную окружность треугольника в точках $M'$, $N'$ и $P'$ соответственно. Докажите, что $MM'\cdot NN'\cdot PP'\leq\frac{R^{2}r}{4}$

Подробнее

Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Найдите наименьшее значение отношения $\frac{MA+MC}{MB+MD}$, если точка $M$ лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$

Подробнее

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BH$ вторично пересекает в точке $M$ перпендикуляр, опущенный из точки $H$ на прямую $AB$. Окружность с центром $C$ и радиусом $CH$ вторично пересекает в точке $N$ перпендикуляр, опущенный из точки $H$ на прямую $AC$. Прямая $MN$ вторично пересекает первую окружность в точке $L$, а вторую - в точке $Q$. Наконец, $Y$ и $Z$ - точки пересечения прямых $HL$ и $HQ$ с прямыми $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что:
а) $\angle MHL=\angle NHQ$;
б) $AYHZ$ - параллелограмм

Подробнее

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AY=AB$ и $CX=CB$. Прямая, проходящая через вершину $A$ параллельно стороне $BC$, пересекает прямую, проходящую через вершину $C$ параллельно стороне $AB$, в точке $D$. Докажите, что $DX=DY$

Подробнее

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$; $CD$ - высота треугольника, $DM$ и $DN$ - биссектрисы треугольников $ADC$ и $BDC$ соответственно. Докажите, что $2AM\cdot BN=MN^{2}$

Подробнее

Точка $M$ - середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, $P$ - проекция вершины $B$ на прямую $CM$, $N$ - середина отрезка $CP$. Биссектриса угла $DAN$ пересекает прямую $DP$ в точке $Q$. Докажите, что четырёхугольник $BMQN$ - параллелограмм

Подробнее

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $I_{A}$ - центр вневписанной со стороны $BC$ окружности треугольника $ABC$, а точки $K$ и $L$ - середины отрезков $DI_{A}$ и $EI_{A}$ соответственно. Прямые $BK$ и $CL$ пересекаются в точке $F$, лежащей внутри угла $BAC$. Найдите $\angle BFC$, если $\angle BAC=50^{\circ}$

Подробнее

Точка $K$ - такая точка на стороне $AD$ квадрата $ABCD$, что $KD:KA=2$. Прямая, симметричная $CD$ относительно $CK$, пересекает сторону $AB$ в точке $L$. Найдите величину $5AL:LB$

Подробнее

Точки $E$ и $E'$ лежат на сторонах соответственно $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$, причём $DE'=CE$. Прямые $AE$ и $AE'$ пересекают диагональ $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $R$ удалена от $P$ на расстояние, равное $BP$, а от точки $Q$ - на расстояние, равное $DQ$. Докажите, что $\angle PRQ=60^{\circ}$

Подробнее

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. На прямых $AB$ и $CD$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём описанная окружность треугольника $CPD$ касается прямой $AB$, а описанная окружность треугольника $AQB$ касается прямой $CD$. Докажите, что расстояние от точки $P$ до прямой $CD$ равно расстоянию от точки $Q$ до прямой $AB$

Подробнее

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ и окружность $\Gamma$ с центром $B$ и радиусом $BC$. Окружность $\gamma$, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает окружность $\Gamma$ в различных точках $X$ и $Y$. Точки $E$ и $F$ - проекции $X$ и $Y$ на прямые $CY$ и $CX$ соответственно. Докажите, что прямая $CA$ проходит через середину отрезка $EF$

Подробнее