Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16278
2026-02-17 
Внутри треугольника $ABC$ находится окружность $\omega$, касающаяся стороны $BC$ в той же точке, что и вписанная в треугольник $ABC$ окружность. Из точек $B$ и $C$ к окружности $\omega$ проведены касательные, пересекающиеся в точке $K$ и пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $M$. Докажите, что в четырёхугольник $APKM$ можно вписать окружность
Решение:
Достаточно доказать, что $CK+AB=BK+AC$ (см. задачу 4991).
Пусть $D$ - точка касания вписанной окружности треугольника $ABC$ со стороной $BC$, а прямые $BP$ и $CM$ касаются окружности $\omega$ в точках соответственно $F$ и $E$, отличных от $D$. Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $KF=KE=x$, $\frac{a+b+c}{2}=p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Тогда (см. задачу 4014)
$BF=BD=p-b,$
поэтому
$BK+AC=BF+FK=(p-b+x)+b=p+x.$
Аналогично получим, что
$CK+AB=p+x.$
Значит,
$CK+AB=BK+AC.$
Отсюда следует утверждение задачи
Внутри треугольника $ABC$ находится окружность $\omega$, касающаяся стороны $BC$ в той же точке, что и вписанная в треугольник $ABC$ окружность. Из точек $B$ и $C$ к окружности $\omega$ проведены касательные, пересекающиеся в точке $K$ и пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $M$. Докажите, что в четырёхугольник $APKM$ можно вписать окружность
Решение:
Достаточно доказать, что $CK+AB=BK+AC$ (см. задачу 4991).
Пусть $D$ - точка касания вписанной окружности треугольника $ABC$ со стороной $BC$, а прямые $BP$ и $CM$ касаются окружности $\omega$ в точках соответственно $F$ и $E$, отличных от $D$. Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $KF=KE=x$, $\frac{a+b+c}{2}=p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Тогда (см. задачу 4014)
$BF=BD=p-b,$
поэтому
$BK+AC=BF+FK=(p-b+x)+b=p+x.$
Аналогично получим, что
$CK+AB=p+x.$
Значит,
$CK+AB=BK+AC.$
Отсюда следует утверждение задачи
