Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16285
2026-02-17 
На медиане $BM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $CK=CM$. Известно, что $\angle CBM=2\angle ABM$. Докажите, что $BC=MK$
Решение:
Положим $\angle ABM=\alpha$, $\angle CBM=2\alpha$. На луче $MB$ отложим отрезок $MN=BK$. Тогда
$AM=MC=CK,$
$\angle AMN=180^{\circ}-\angle KMC=180^{\circ}-\angle MKC=\angle BKC.$
Значит, треугольник $AMN$ равен треугольнику $CKB$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AM=BC$ и $\angle ANM=\angle CBK=2\alpha$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle BAN=\angle ANM-\angle ABN=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle ABN.$
Тогда треугольник $ANB$ равнобедренный, $BN=AN$. Следовательно,
$BC=AN=BN=BM-MN=BM-BK=MK.$
Что и требовалось доказать
На медиане $BM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $CK=CM$. Известно, что $\angle CBM=2\angle ABM$. Докажите, что $BC=MK$
Решение:
Положим $\angle ABM=\alpha$, $\angle CBM=2\alpha$. На луче $MB$ отложим отрезок $MN=BK$. Тогда
$AM=MC=CK,$
$\angle AMN=180^{\circ}-\angle KMC=180^{\circ}-\angle MKC=\angle BKC.$
Значит, треугольник $AMN$ равен треугольнику $CKB$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AM=BC$ и $\angle ANM=\angle CBK=2\alpha$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle BAN=\angle ANM-\angle ABN=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle ABN.$
Тогда треугольник $ANB$ равнобедренный, $BN=AN$. Следовательно,
$BC=AN=BN=BM-MN=BM-BK=MK.$
Что и требовалось доказать
