Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16271
2026-02-17 
В треугольнике $ABC$ даны величины углов $\angle B=12^{\circ}$, $\angle C=132^{\circ}$ (треугольник Боттемы). Проведены внешние биссектрисы $BM$ и $CN$ этих углов до пересечения с продолжениями противоположных сторон. Сравните длины этих биссектрис, не используя тригонометрические функции
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения рассматриваемых внешних биссектрис с продолжениями противоположных сторон треугольника. Тогда
$\angle BCM=180^{\circ}-132^{\circ}=48^{\circ},~\angle CBM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-12^{\circ})=84^{\circ},$
поэтому
$\angle BMC=180^{\circ}-48^{\circ}-84^{\circ}=48^{\circ}=\angle BCM.$
Значит, треугольник $BMC$ равнобедренный, $BM=BC$, а т.к. по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle CAN=12^{\circ}+132^{\circ}=144^{\circ},$
и при этом
$\angle ACN=\frac{1}{2}\angle BCM=24^{\circ},$
то
$\angle ANC=180^{\circ}-144^{\circ}-\angle24^{\circ}=12^{\circ}=\angle CBN.$
Значит, треугольник $BCN$ тоже равнобедренный, $CN=BC$. Следовательно, $CN=BM$
В треугольнике $ABC$ даны величины углов $\angle B=12^{\circ}$, $\angle C=132^{\circ}$ (треугольник Боттемы). Проведены внешние биссектрисы $BM$ и $CN$ этих углов до пересечения с продолжениями противоположных сторон. Сравните длины этих биссектрис, не используя тригонометрические функции
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения рассматриваемых внешних биссектрис с продолжениями противоположных сторон треугольника. Тогда
$\angle BCM=180^{\circ}-132^{\circ}=48^{\circ},~\angle CBM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-12^{\circ})=84^{\circ},$
поэтому
$\angle BMC=180^{\circ}-48^{\circ}-84^{\circ}=48^{\circ}=\angle BCM.$
Значит, треугольник $BMC$ равнобедренный, $BM=BC$, а т.к. по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle CAN=12^{\circ}+132^{\circ}=144^{\circ},$
и при этом
$\angle ACN=\frac{1}{2}\angle BCM=24^{\circ},$
то
$\angle ANC=180^{\circ}-144^{\circ}-\angle24^{\circ}=12^{\circ}=\angle CBN.$
Значит, треугольник $BCN$ тоже равнобедренный, $CN=BC$. Следовательно, $CN=BM$
