ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают


Решение:


Пусть вершины $K$ и $L$ квадрата $ABCD$ лежат на основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, вершины $M$ и $N$ - на боковых сторонах $BC$ и $AC$ соответственно, а $O$ - общий центр тяжести треугольника и квадрата, т.е. точка пересечения медиан треугольника и точка пересечения диагоналей квадрата.
Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его высота $CH$ является медианой, а также пересекает сторону $MN$ квадрата в её середине $P$. Тогда

$PH=1,~PO=OH=\frac{1}{2}PH=\frac{1}{2},~CH=3OH=\frac{3}{2}.$

Треугольник $MLB$ подобен треугольнику $CHB$, поэтому $\frac{BL}{BH}=\frac{2}{3}$. Значит,

$BH=3LH=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=CH.$


Треугольник $CHB$ - равнобедренный и прямоугольный, следовательно,

$S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta CHB}=BH\cdot CH=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$.