Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16277
2026-02-17 
Вася нарисовал треугольник и отметил середины его сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами. Некоторые из этих девяти точек могли совпасть - всего получилось $k$ различных точек. При каких $k$ могло оказаться, что эти точки являются вершинами правильного $k$-угольника
Решение:
В любом треугольнике эти точки лежат на одной окружности - окружности девяти точек (см. задачу 3974).
Пусть $H$ - ортоцентр разностороннего треугольника $ABC$ (рис.1); $H_{A}$, $H_{B}$ и $H_{C}$ - основания высот, проведённых из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно; $M_{A}$, $M_{B}$ и $M_{C}$ - середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно; $P_{A}$, $P_{B}$ и $P_{C}$ - середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$ соответственно.
Поскольку $\angle P_{A}H_{A}M_{A}=90^{\circ}$, отрезок $P_{A}M_{A}$ - диаметр окружности девяти точек. Это верно и в том случае, когда точки $A_{M}$ и $H_{A}$ совпадают - тогда треугольник $ABC$ равнобедренный и $P_{A}M_{A}$ - диаметр.
Итак, данный правильный $k$-угольник вписан в окружность девяти точек и какие-то две из его вершин $P_{A}$ и $M_{A}$ в нём диаметрально противоположны. Следовательно, $k$ чётно.
Для $k=4$ подходит равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.2), для $k=6$ - равносторонний треугольник (рис.3). Докажем, что $k=8$ тоже подходит, т.е. приведём пример треугольника $ABC$ в котором восемь рассматриваемые точки - вершины правильного восьмиугольника.
Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник с основанием $BC$, причём $\angle BAC=45^{\circ}$ (рис.4). Тогда точки $H_{A}$ и $M_{A}$ совпадают, а остальные попарно различны.
1. Все восемь точек лежат на одной окружности.
2. Этот восьмиугольник симметричен относительно прямой $AH_{A}$, т.к. вся конструкция симметрична относительно этой прямой.
3. Отрезки $P_{A}M_{A}$, $P_{B}M_{B}$ и $P_{C}M_{C}$ - диаметры, и $H_{B}H_{C}$ - тоже диаметр, т.к.
$\angle H_{C}M_{B}H_{B}=\angle H_{C}M_{B}C=90^{\circ}$
(медиана $H_{C}M_{B}$ равнобедренного треугольника $AH_{C}C$ является его высотой).
Таким образом, восьмиугольник симметричен относительно центра окружности. Значит, равны следующие дуги окружности девяти точек:
$\breve{ P_{B}H_{C}}=\breve{ P_{C}H_{B}}=\breve{ M_{C}H_{C}}=\breve{ M_{B}H_{B}},$
$\breve{ P_{B}M_{A}}=\breve{ P_{C}M_{A}}=\breve{ M_{C}P_{A}}=\breve{ M_{B}P_{A}}.$
Заметим, что из равенства дуг $P_{A}M_{C}$ и $M_{A}P_{B}$ следует параллельность хорд $P_{B}M_{C}$ и $M_{A}P_{A}$, поэтому
$\angle P_{B}M_{C}H_{C}=\angle HAH_{C}=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot45^{\circ},$
а т.к. центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного, то
$\breve{ P_{B}H_{C}}=2\angle P_{B}M_{C}H_{C}=45^{\circ}.$
Тогда каждая из дуг $P_{B}H_{C}$, $P_{C}H_{B}$, $M_{C}H_{C}$ и $M_{B}H_{B}$ равна $45^{\circ}$, их сумма равна $180^{\circ}$, а т.к. сумма всех восьми дуг равна $360^{\circ}$, то сумма равных дуг $P_{B}M_{A}$, $P_{C}M_{A}$, $M_{C}P_{A}$ и $M_{B}P_{A}$ тоже равна $180^{\circ}$. Значит, каждая из них равна $45^{\circ}$. Таким образом, все восемь дуг равны по $45^{\circ}$. Следовательно, эти восемь точек - вершины правильного многоугольника
Вася нарисовал треугольник и отметил середины его сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами. Некоторые из этих девяти точек могли совпасть - всего получилось $k$ различных точек. При каких $k$ могло оказаться, что эти точки являются вершинами правильного $k$-угольника
Решение:
В любом треугольнике эти точки лежат на одной окружности - окружности девяти точек (см. задачу 3974).
Пусть $H$ - ортоцентр разностороннего треугольника $ABC$ (рис.1); $H_{A}$, $H_{B}$ и $H_{C}$ - основания высот, проведённых из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно; $M_{A}$, $M_{B}$ и $M_{C}$ - середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно; $P_{A}$, $P_{B}$ и $P_{C}$ - середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$ соответственно.
Поскольку $\angle P_{A}H_{A}M_{A}=90^{\circ}$, отрезок $P_{A}M_{A}$ - диаметр окружности девяти точек. Это верно и в том случае, когда точки $A_{M}$ и $H_{A}$ совпадают - тогда треугольник $ABC$ равнобедренный и $P_{A}M_{A}$ - диаметр.
Итак, данный правильный $k$-угольник вписан в окружность девяти точек и какие-то две из его вершин $P_{A}$ и $M_{A}$ в нём диаметрально противоположны. Следовательно, $k$ чётно.
Для $k=4$ подходит равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.2), для $k=6$ - равносторонний треугольник (рис.3). Докажем, что $k=8$ тоже подходит, т.е. приведём пример треугольника $ABC$ в котором восемь рассматриваемые точки - вершины правильного восьмиугольника.
Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник с основанием $BC$, причём $\angle BAC=45^{\circ}$ (рис.4). Тогда точки $H_{A}$ и $M_{A}$ совпадают, а остальные попарно различны.
1. Все восемь точек лежат на одной окружности.
2. Этот восьмиугольник симметричен относительно прямой $AH_{A}$, т.к. вся конструкция симметрична относительно этой прямой.
3. Отрезки $P_{A}M_{A}$, $P_{B}M_{B}$ и $P_{C}M_{C}$ - диаметры, и $H_{B}H_{C}$ - тоже диаметр, т.к.
$\angle H_{C}M_{B}H_{B}=\angle H_{C}M_{B}C=90^{\circ}$
(медиана $H_{C}M_{B}$ равнобедренного треугольника $AH_{C}C$ является его высотой).
Таким образом, восьмиугольник симметричен относительно центра окружности. Значит, равны следующие дуги окружности девяти точек:
$\breve{ P_{B}H_{C}}=\breve{ P_{C}H_{B}}=\breve{ M_{C}H_{C}}=\breve{ M_{B}H_{B}},$
$\breve{ P_{B}M_{A}}=\breve{ P_{C}M_{A}}=\breve{ M_{C}P_{A}}=\breve{ M_{B}P_{A}}.$
Заметим, что из равенства дуг $P_{A}M_{C}$ и $M_{A}P_{B}$ следует параллельность хорд $P_{B}M_{C}$ и $M_{A}P_{A}$, поэтому
$\angle P_{B}M_{C}H_{C}=\angle HAH_{C}=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot45^{\circ},$
а т.к. центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного, то
$\breve{ P_{B}H_{C}}=2\angle P_{B}M_{C}H_{C}=45^{\circ}.$
Тогда каждая из дуг $P_{B}H_{C}$, $P_{C}H_{B}$, $M_{C}H_{C}$ и $M_{B}H_{B}$ равна $45^{\circ}$, их сумма равна $180^{\circ}$, а т.к. сумма всех восьми дуг равна $360^{\circ}$, то сумма равных дуг $P_{B}M_{A}$, $P_{C}M_{A}$, $M_{C}P_{A}$ и $M_{B}P_{A}$ тоже равна $180^{\circ}$. Значит, каждая из них равна $45^{\circ}$. Таким образом, все восемь дуг равны по $45^{\circ}$. Следовательно, эти восемь точек - вершины правильного многоугольника
