Двое игроков по очереди выставляют на доску $65 \times 65$ по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход - проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
В клетчатом прямоугольнике $m \times n$ каждая клетка может быть либо живой, либо мертвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мертвые, у которых было нечетное число живых соседей (по стороне), оживают. Укажите все пары ($m, n$), для которых найдется такая начальная расстановка живых и мертвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (т. е. в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой).
Подробнее
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Подробнее
Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своем месте. Билетер может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он сможет рассадить всех на свои места?
Подробнее
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если этот кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре $k$-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение $k$, если Остап был избран а) в 1002-м туре; б) в 1001-м туре.
Подробнее
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек также были подобны друг другу (возможно с различными коэффициентами подобия).
Подробнее
В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на 5 %, если вместо этого маме удвоят зарплату - то на 15 %, если же зарплату удвоят папе - то на 25 %. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
Подробнее
Можно ли покрасить некоторые клетки доски $8 \times 8$ так, чтобы в любом квадрате $3 \times 3$ было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике $2 \times 4$ (вертикальном или горизонтальном) - ровно 4 закрашенные клетки?
Подробнее
В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трем авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из любого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?
Подробнее
Боря задумал целое число, большее чем 100. Кира называет целое число, большее чем 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным, Кира проигрывает. Есть ли у нее выигрышная стратегия?
Подробнее
Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рис. одного радиуса, треугольник равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Подробнее
В магазине три этажа, перемещаться между которыми можно только на лифте. Исследование посещаемости этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и до закрытия магазина:
1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже, половина едет на первый этаж, а половина - на третий;
2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше трети делает это на третьем этаже.
На какой этаж покупатели чаще ездили с первого этажа - на второй или на третий?
Комментарий. До открытия и после закрытия покупателей в магазине не было. Покупатели перемещаются между этажами только на лифте.
Подробнее
Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной $n$, разделенная бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок - треугольник со стороной 1, - победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:
«Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной.
Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут, - если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним.»
Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.
Подробнее
В стране несколько городов, соединенных дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путем, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.
Подробнее
