Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3447
2019-06-03 
Доска размером $2005 \times 2005$ разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами $1, 2, \cdots$ так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. Расстояние между клетками - это расстояние между их центрами.
Решение:
Вариант А. Рассмотрим на доске произвольный клетчатый квадрат со стороной 105, который назовем большим. Разобьем его на 25 квадратов $21 \times 21$, которые назовем малыми.
Центр клетки с числом, находящийся на расстоянии менее i0 от центра некоторого малого квадрата, обязан находиться в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдется хотя бы 25 клеток с числами. Наименьшее из них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удаленными угловыми клетками которого не превосходит $105 \sqrt{2} < 150$.
Вариант Б. Рассмотрим на доске произвольный клетчатый квадрат со стороной 66, который назовем большим. Разобьем его на 36 квадратов $11 \times 11$, которые назовем малыми.
Центр клетки с числом, находящийся на расстоянии менее 5 от центра некоторого малого квадрата, обязан находиться в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдется хотя бы 36 клеток с числами. Наименьшее из них отличается от наибольшего более, чем на 34. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 100, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удаленными угловыми клетками которого не превосходит $66 \sqrt{2} < 99$.
Доска размером $2005 \times 2005$ разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами $1, 2, \cdots$ так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. Расстояние между клетками - это расстояние между их центрами.
Решение:
Вариант А. Рассмотрим на доске произвольный клетчатый квадрат со стороной 105, который назовем большим. Разобьем его на 25 квадратов $21 \times 21$, которые назовем малыми.
Центр клетки с числом, находящийся на расстоянии менее i0 от центра некоторого малого квадрата, обязан находиться в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдется хотя бы 25 клеток с числами. Наименьшее из них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удаленными угловыми клетками которого не превосходит $105 \sqrt{2} < 150$.
Вариант Б. Рассмотрим на доске произвольный клетчатый квадрат со стороной 66, который назовем большим. Разобьем его на 36 квадратов $11 \times 11$, которые назовем малыми.
Центр клетки с числом, находящийся на расстоянии менее 5 от центра некоторого малого квадрата, обязан находиться в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдется хотя бы 36 клеток с числами. Наименьшее из них отличается от наибольшего более, чем на 34. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 100, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удаленными угловыми клетками которого не превосходит $66 \sqrt{2} < 99$.
