Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3525
2019-06-12 
Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (рис.). Докажите, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. (Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но ее вершины не должны лежать на отрезках, а стороны - проходить через вершины фигуры.)
Решение:
Предположим, что нам удалось провести ломаную, удовлетворяющую условию. Поскольку контуры заштрихованных на рис. областей 1, 2, 3 содержат по пять отрезков и ломаная должна каждый из этих отрезков пересечь ровно по одному разу, каждая из этих трех областей должна содержать один из концов ломаной (если ни один из концов не принадлежит области, ломаная должна входить в нее столько же раз, сколько и выходить, т. е. число ее пересечений с отрезками границы должно быть четным). Однако концов у ломаной только два. Получено противоречие, доказывающее утверждение задачи.
То же решение можно изложить иначе. Поставим в каждой из в областей, на которые наша фигура делит плоскость, точку - «столицу» областей и для каждого из 16 отрезков нарисуем пересекающую его «дорогу», соединяющую столицы двух прилежащих к нему областей (рис.). Полученную сеть дорог нельзя обойти, проходя по каждой дороге один раз, поскольку имеется 4 столицы, в которых сходится нечетное число дорог. А чтобы такой обход существовал, необходимо (и, как можно показать, достаточно), чтобы таких «нечетных столиц» было О и 2.
Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (рис.). Докажите, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. (Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но ее вершины не должны лежать на отрезках, а стороны - проходить через вершины фигуры.)
Решение:
Предположим, что нам удалось провести ломаную, удовлетворяющую условию. Поскольку контуры заштрихованных на рис. областей 1, 2, 3 содержат по пять отрезков и ломаная должна каждый из этих отрезков пересечь ровно по одному разу, каждая из этих трех областей должна содержать один из концов ломаной (если ни один из концов не принадлежит области, ломаная должна входить в нее столько же раз, сколько и выходить, т. е. число ее пересечений с отрезками границы должно быть четным). Однако концов у ломаной только два. Получено противоречие, доказывающее утверждение задачи.
То же решение можно изложить иначе. Поставим в каждой из в областей, на которые наша фигура делит плоскость, точку - «столицу» областей и для каждого из 16 отрезков нарисуем пересекающую его «дорогу», соединяющую столицы двух прилежащих к нему областей (рис.). Полученную сеть дорог нельзя обойти, проходя по каждой дороге один раз, поскольку имеется 4 столицы, в которых сходится нечетное число дорог. А чтобы такой обход существовал, необходимо (и, как можно показать, достаточно), чтобы таких «нечетных столиц» было О и 2.
