Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1880
2019-01-21 
Угол, образованный лучами $у = x$ и $у = 2x$ при $x \geq 0$, высекает на параболе $у = x^2 + px + q$ две дуги. Эти дуги спроектированы на ось $0x$. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Решение:
Абсциссы $x_1$ и $x_2$ точек пересечения параболы и прямой $у = x$ удовлетворяют уравнению $x^2 + (p - 1)x + q = 0$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = 1 - p$. Аналогично получаем, что абсциссы $x_3$ и $x_4$ точек пересечения параболы и прямой $у = 2x$ связаны соотношением $x_3 + x_4 = 2 - p$.
Если $x_1 < x_2,$ а $x_3 < x_4$, то проекция левой дуги равна $x_1 - x_3$, а правой - $x_4 - x_2$ (см. рис.). Разность их равна $(x_4 - x_2) - (x_1 - x_3) = (x_3 + x_4) - (x_1 + x_2) = (2 - p) - (1 - p) = 1$.
Угол, образованный лучами $у = x$ и $у = 2x$ при $x \geq 0$, высекает на параболе $у = x^2 + px + q$ две дуги. Эти дуги спроектированы на ось $0x$. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Решение:
Абсциссы $x_1$ и $x_2$ точек пересечения параболы и прямой $у = x$ удовлетворяют уравнению $x^2 + (p - 1)x + q = 0$.
По теореме Виета $x_1 + x_2 = 1 - p$. Аналогично получаем, что абсциссы $x_3$ и $x_4$ точек пересечения параболы и прямой $у = 2x$ связаны соотношением $x_3 + x_4 = 2 - p$.
Если $x_1 < x_2,$ а $x_3 < x_4$, то проекция левой дуги равна $x_1 - x_3$, а правой - $x_4 - x_2$ (см. рис.). Разность их равна $(x_4 - x_2) - (x_1 - x_3) = (x_3 + x_4) - (x_1 + x_2) = (2 - p) - (1 - p) = 1$.
