Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1937
2019-01-22 
Найдите все функции $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, которые для всех $x,y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют неравенству $f(x + y) + f(y + z ) + f ( z + x) \geq 3f (x + 2y + 3z)$.
Решение:
Положив $x = y = -z$, получаем $f(2x) + f(0) + f(0) \geq 3f(0),$ откуда $f(2x) \geq f(0)$.
С другой стороны, положив $x = z = -y,$ получаем $f(0) + f(0) + f(2x) > 3f(2x)$, откуда $f(2x) < f(0)$. Итак, $f(0) \geq f(2x) \geq f(0)$, т. е. $f(2x) \equiv const = C$. Легко проверить, что при любом $C \in \mathbb{R}$ функция $f(x) = C$ удовлетворяет неравенству.
Найдите все функции $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, которые для всех $x,y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют неравенству $f(x + y) + f(y + z ) + f ( z + x) \geq 3f (x + 2y + 3z)$.
Решение:
Положив $x = y = -z$, получаем $f(2x) + f(0) + f(0) \geq 3f(0),$ откуда $f(2x) \geq f(0)$.
С другой стороны, положив $x = z = -y,$ получаем $f(0) + f(0) + f(2x) > 3f(2x)$, откуда $f(2x) < f(0)$. Итак, $f(0) \geq f(2x) \geq f(0)$, т. е. $f(2x) \equiv const = C$. Легко проверить, что при любом $C \in \mathbb{R}$ функция $f(x) = C$ удовлетворяет неравенству.
