Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1846
2019-01-21 
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Решение:
Можно считать, что $a_m > 0$, иначе умножим все числа последовательности $a_1, a_2, \cdots, a_m$ на -1. Рассмотрим последовательность $b_1, b_2, \cdots, b_n$ такую, что $b_i = \sum_{j=0}^{n}c_ji^j,$ где $c_0, c_1, \cdots , c_n$ - произвольные действительные числа (т. е. $b_i$ - значения многочлена степени $\leq n$ в первых $n$ натуральных точках). Тогда из условия
$\sum_{i=1}^{m}a_ib^i = \sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{j=0}^{n}a_ic_ji^j = \sum_{j=0}^{n}c_j\sum_{i=1}^{m}a_ii^j = \sum_{j=0}^{n}c_j \cdot 0 = 0$.
Таким образом,
$\sum_{i=1}^{m}a_ib_i = 0$. (*)
Предположим теперь, что последовательность $a_1, a_2, \cdots, a_m$ имеет $k$ пар соседних чисел, имеющих противоположные знаки, и $i_1, i_2, \cdots, i_k$ - индексы первых элементов в этих парах ($1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k < m$). Пусть $k < n +1$.
Положим $b_i = f(i) = (i - x_1)(i - x_2) \cdots (i - x_k),$ где $x_1 = i_l + \frac{1}{2} (l = 1, 2, \cdots, k)$. Функция $f$ меняет знак в точках $x_1, x_2, \cdots, x_k$ и только в них, поэтому $b_i$ и $b_{i+1}$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда между ними есть некоторая точка $x_l = i_l + \frac{1}{2}$, т. е. если $i = i_l (l = 1, 2, \cdots, k)$. Мы получили, что в последовательностях $a_1, a_2, \cdots, a_m$ и $b_1, b_2, \cdots, b_m$ перемены знаков индексов происходят в одних и тех же парах индексов.
Учитывая, что $a_m > 0$ и $b_m > 0$, получаем, что знаки $a_i$ и $b_i (i = 1, 2, \cdots, m)$ совпадают, поэтому $ \sum_{i=1}^{m}a_ib_i > 0$, что противоречит (*).
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Решение:
Можно считать, что $a_m > 0$, иначе умножим все числа последовательности $a_1, a_2, \cdots, a_m$ на -1. Рассмотрим последовательность $b_1, b_2, \cdots, b_n$ такую, что $b_i = \sum_{j=0}^{n}c_ji^j,$ где $c_0, c_1, \cdots , c_n$ - произвольные действительные числа (т. е. $b_i$ - значения многочлена степени $\leq n$ в первых $n$ натуральных точках). Тогда из условия
$\sum_{i=1}^{m}a_ib^i = \sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{j=0}^{n}a_ic_ji^j = \sum_{j=0}^{n}c_j\sum_{i=1}^{m}a_ii^j = \sum_{j=0}^{n}c_j \cdot 0 = 0$.
Таким образом,
$\sum_{i=1}^{m}a_ib_i = 0$. (*)
Предположим теперь, что последовательность $a_1, a_2, \cdots, a_m$ имеет $k$ пар соседних чисел, имеющих противоположные знаки, и $i_1, i_2, \cdots, i_k$ - индексы первых элементов в этих парах ($1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k < m$). Пусть $k < n +1$.
Положим $b_i = f(i) = (i - x_1)(i - x_2) \cdots (i - x_k),$ где $x_1 = i_l + \frac{1}{2} (l = 1, 2, \cdots, k)$. Функция $f$ меняет знак в точках $x_1, x_2, \cdots, x_k$ и только в них, поэтому $b_i$ и $b_{i+1}$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда между ними есть некоторая точка $x_l = i_l + \frac{1}{2}$, т. е. если $i = i_l (l = 1, 2, \cdots, k)$. Мы получили, что в последовательностях $a_1, a_2, \cdots, a_m$ и $b_1, b_2, \cdots, b_m$ перемены знаков индексов происходят в одних и тех же парах индексов.
Учитывая, что $a_m > 0$ и $b_m > 0$, получаем, что знаки $a_i$ и $b_i (i = 1, 2, \cdots, m)$ совпадают, поэтому $ \sum_{i=1}^{m}a_ib_i > 0$, что противоречит (*).
