Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1888
2019-01-21 
Прямые, параллельные оси $O_x$, пересекают график функции $у = ax^3 + bx^2 + cx + d$: первая - в точках $A, D$ и $E$, вторая - в точках $B, C$ и $F$ (рис.). Докажите, что длина проекции дуги $CD$ на ось $O_x$ равна сумме длин проекций дуг $AB$ и $EF$.
Решение:
Из рис. следует, что $a > 0$. Если $y = p$ и $y = q$ - уравнения заданных прямых, то абсциссы точек $A, D$ и $E$ - корни $x_1 < x_2 < x_3$ уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d - p = 0$, а точек $B, C$ и $F$ - корни $X_1 < X_2 < X_3$ уравнения $aX^3 + bX^2 + cX + d - q = 0$. По теореме Виета $x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} = X_1 + X_2 + X_3$. Отсюда $x_2 - X_2 = (X_1 - x_1) + (X_3 - x_3)$, что и требовалось доказать.
Прямые, параллельные оси $O_x$, пересекают график функции $у = ax^3 + bx^2 + cx + d$: первая - в точках $A, D$ и $E$, вторая - в точках $B, C$ и $F$ (рис.). Докажите, что длина проекции дуги $CD$ на ось $O_x$ равна сумме длин проекций дуг $AB$ и $EF$.
Решение:
Из рис. следует, что $a > 0$. Если $y = p$ и $y = q$ - уравнения заданных прямых, то абсциссы точек $A, D$ и $E$ - корни $x_1 < x_2 < x_3$ уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d - p = 0$, а точек $B, C$ и $F$ - корни $X_1 < X_2 < X_3$ уравнения $aX^3 + bX^2 + cX + d - q = 0$. По теореме Виета $x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} = X_1 + X_2 + X_3$. Отсюда $x_2 - X_2 = (X_1 - x_1) + (X_3 - x_3)$, что и требовалось доказать.
