Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1926
2019-01-22 
На доску последовательно выписываются числа $a_1 = 1,a_2, a_3, \cdots$ по следующим правилам: $a_{n+1} = a_n - 2$, если число $a_n - 2$ - натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае $a_{n+1} = a_n + 3$. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Решение:
Докажем по индукции, что при $n = 5m$ все числа от 1 до $n$ выписаны на доску, $a_{5m} = 5m - 2$ и при всех $k \leq 5m$ выполняется равенство $a_{k+5} = a_k + 5$. База: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 3 \rightarrow 6$. Индуктивный шаг: так как при $n = 5m$ все числа от 1 до $5m$ уже выписаны и $a_{5m} = 5m - 2$, то следующие пять чисел выглядят так: $a_{5m+1} = 5m + 1, a_{5m+2} = 5m + 4, a_{5m+3} = 5m + 2, a_{5m+4} = 5m + 5, a_{5m+5} = 5m + 3$. Шаг индукции доказан.
Таким образом, числа, дающие при делении на 5 остатки 4, 1 и 0, появляются на доске после увеличения предыдущего числа на 3. Но только такие остатки и могут давать при делении на 5 квадраты натуральных чисел.
На доску последовательно выписываются числа $a_1 = 1,a_2, a_3, \cdots$ по следующим правилам: $a_{n+1} = a_n - 2$, если число $a_n - 2$ - натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае $a_{n+1} = a_n + 3$. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Решение:
Докажем по индукции, что при $n = 5m$ все числа от 1 до $n$ выписаны на доску, $a_{5m} = 5m - 2$ и при всех $k \leq 5m$ выполняется равенство $a_{k+5} = a_k + 5$. База: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 3 \rightarrow 6$. Индуктивный шаг: так как при $n = 5m$ все числа от 1 до $5m$ уже выписаны и $a_{5m} = 5m - 2$, то следующие пять чисел выглядят так: $a_{5m+1} = 5m + 1, a_{5m+2} = 5m + 4, a_{5m+3} = 5m + 2, a_{5m+4} = 5m + 5, a_{5m+5} = 5m + 3$. Шаг индукции доказан.
Таким образом, числа, дающие при делении на 5 остатки 4, 1 и 0, появляются на доске после увеличения предыдущего числа на 3. Но только такие остатки и могут давать при делении на 5 квадраты натуральных чисел.
