Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1938
2019-01-22 
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке $a, b, с$ такой, что $a + 99b = с$, нашлись два числа из одного подмножества.
Решение:
Предъявим такое разбиение. Выделим в $i$-е множество ($1 \leq i \leq 99$) все четные числа, дающие при делении на 99 остаток $i - 1$, а в сотое множество - все нечетные числа. Очевидно, что среди любых чисел $a, b$ и $с$, удовлетворяющих уравнению $a + 99b = с$, четное количество нечетных. Если среди них два нечетных, то они из одного (сотого) множества, иначе - $a$ и $с$ из одного множества, так как они четные и дают одинаковые остатки от деления на 99.
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке $a, b, с$ такой, что $a + 99b = с$, нашлись два числа из одного подмножества.
Решение:
Предъявим такое разбиение. Выделим в $i$-е множество ($1 \leq i \leq 99$) все четные числа, дающие при делении на 99 остаток $i - 1$, а в сотое множество - все нечетные числа. Очевидно, что среди любых чисел $a, b$ и $с$, удовлетворяющих уравнению $a + 99b = с$, четное количество нечетных. Если среди них два нечетных, то они из одного (сотого) множества, иначе - $a$ и $с$ из одного множества, так как они четные и дают одинаковые остатки от деления на 99.
