Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1910
2019-01-22 
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел $а_1, а_2, а_3,\cdots$, для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
$a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n-2} }{НОД(a_{n-1}, a_{n-2} ) }$.
Решение:
Пусть для каких-то двух членов последовательности $a_k$ и $a_{k+1}$ их НОД равен 1. Тогда $\:НОД(a_k,a_{k+1}) =\:НОД(a_k + a_{k+1}, a_{k+1}) =\:НОД(a_{k+2}, a_{k+1})$, т. е. для всех последующих членов последовательности НОД тоже будет равен 1. При этом, начиная с $k$-го члена, последовательность превращается в последовательность $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$, которая неограниченно возрастает, что невозможно.
Тогда $a_{k+2} \leq \frac{a_{k+1} + a_{k} }{2} \leq max \{ a_{k+1}, a_{k} \}$
и $max \{ a_{k+1}, a_{k} \}$ не возрастает. Следовательно, когда-то он стабилизируется: $max \{ a_{k+1}, a_{k} \} = max \{ a_{k+2} > a_{k + 1} \} = max \{ a_{k+3}, a_{k+2} \} = d$. Если при этом $a_{k+1} \neq a_{k}$, то $a_{k+2} < d, a_{k+3} < d$, что невозможно. Поэтому $a_{k} = a_{k+1} = a_{k+2} = \cdots = d$, откуда $d =2$. Но тогда
$\frac{ a_{k-1} + 2}{\:НОД(a_{k-1}, 2)} = 2$, откуда $a_{k-1} = 2$, и последовательность состоит только из двоек.
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел $а_1, а_2, а_3,\cdots$, для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
$a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n-2} }{НОД(a_{n-1}, a_{n-2} ) }$.
Решение:
Пусть для каких-то двух членов последовательности $a_k$ и $a_{k+1}$ их НОД равен 1. Тогда $\:НОД(a_k,a_{k+1}) =\:НОД(a_k + a_{k+1}, a_{k+1}) =\:НОД(a_{k+2}, a_{k+1})$, т. е. для всех последующих членов последовательности НОД тоже будет равен 1. При этом, начиная с $k$-го члена, последовательность превращается в последовательность $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$, которая неограниченно возрастает, что невозможно.
Тогда $a_{k+2} \leq \frac{a_{k+1} + a_{k} }{2} \leq max \{ a_{k+1}, a_{k} \}$
и $max \{ a_{k+1}, a_{k} \}$ не возрастает. Следовательно, когда-то он стабилизируется: $max \{ a_{k+1}, a_{k} \} = max \{ a_{k+2} > a_{k + 1} \} = max \{ a_{k+3}, a_{k+2} \} = d$. Если при этом $a_{k+1} \neq a_{k}$, то $a_{k+2} < d, a_{k+3} < d$, что невозможно. Поэтому $a_{k} = a_{k+1} = a_{k+2} = \cdots = d$, откуда $d =2$. Но тогда
$\frac{ a_{k-1} + 2}{\:НОД(a_{k-1}, 2)} = 2$, откуда $a_{k-1} = 2$, и последовательность состоит только из двоек.
