Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1933
2019-01-22 
Пусть $M$ - конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит $M$. Какое наибольшее число элементов может быть в $M$?
Решение:
Пример множества из 7 элементов: $\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}$.
Докажем, что при $m \geq 8$ множество из $m$ чисел $A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_m \}$ требуемым свойством не обладает. Не ограничивая общности можно считать, что $a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > am$ и $a_4 > 0$ (ясно, что умножение на -1 наше свойство не меняет). Тогда $a_1 + a_2 > a_1 + a_3 > a_1 + a_4 > a_1$, т. е. ни одна из сумм $a_1 + a_2, a_1 + a_3$ и $a_1 + a_4$ множеству $A$ не принадлежит. Кроме того, суммы $a_2 + a_3$ и $a_2 + a_4$ не могут одновременно принадлежать $A$, поскольку $a_2 + a_3 > a_2, a_2 + a_4 > a_2$ и $a_2 + a_3 \neq a_2 + a_4$. Получается, что по крайней мере для одной из троек $(a_1, a_2, a_3)$ и $(a_1, a_2, a_4)$ сумма любых двух ее элементов множеству $A$ не принадлежит.
Ответ. 7.
Пусть $M$ - конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит $M$. Какое наибольшее число элементов может быть в $M$?
Решение:
Пример множества из 7 элементов: $\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}$.
Докажем, что при $m \geq 8$ множество из $m$ чисел $A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_m \}$ требуемым свойством не обладает. Не ограничивая общности можно считать, что $a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > am$ и $a_4 > 0$ (ясно, что умножение на -1 наше свойство не меняет). Тогда $a_1 + a_2 > a_1 + a_3 > a_1 + a_4 > a_1$, т. е. ни одна из сумм $a_1 + a_2, a_1 + a_3$ и $a_1 + a_4$ множеству $A$ не принадлежит. Кроме того, суммы $a_2 + a_3$ и $a_2 + a_4$ не могут одновременно принадлежать $A$, поскольку $a_2 + a_3 > a_2, a_2 + a_4 > a_2$ и $a_2 + a_3 \neq a_2 + a_4$. Получается, что по крайней мере для одной из троек $(a_1, a_2, a_3)$ и $(a_1, a_2, a_4)$ сумма любых двух ее элементов множеству $A$ не принадлежит.
Ответ. 7.
