Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1805
2019-01-20 
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через $m$ число пар $(x, y)$, для которых $f(x) = g(y)$, через $n$ - число пар, для которых $f(x) = f(y)$, а через $к$ - число пар, для которых $g(x) = g(y)$. Докажите, что $2m \leq n+k$.
Решение:
Пусть $а$ - одно из значений, принимаемых функцией $f(x),$ а $n_a$ и $k_а$ - количество тех $x$, для которых $f(x) = а$ и $g(x) = а$ соответственно (возможно, что $k_а = 0$). Тогда $n_a \cdot k_а$ пар чисел $(x, у)$ будут удовлетворять равенствам $f(x) = а, g(x) = а, n_a^2$ пар - равенствам $f(x) = а, f(у) = а,$ и $k_а^2$ пар - равенствам $g(x) = а, g(y) = а$. Поэтому, если $а, b, \cdots, u$ - все значения, принимаемые функцией $f,$ то $m = n_ak_a + n_bk_b + \cdots + n_uk_u, n = n_a^2 + n_b^2 + \cdots + n_u^2, к \leq k_a^2 + k_b^2 + \cdots + k_u^2$.
Используя неравенство $2pq \leq p^2 + q^2$, получаем требуемое.
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через $m$ число пар $(x, y)$, для которых $f(x) = g(y)$, через $n$ - число пар, для которых $f(x) = f(y)$, а через $к$ - число пар, для которых $g(x) = g(y)$. Докажите, что $2m \leq n+k$.
Решение:
Пусть $а$ - одно из значений, принимаемых функцией $f(x),$ а $n_a$ и $k_а$ - количество тех $x$, для которых $f(x) = а$ и $g(x) = а$ соответственно (возможно, что $k_а = 0$). Тогда $n_a \cdot k_а$ пар чисел $(x, у)$ будут удовлетворять равенствам $f(x) = а, g(x) = а, n_a^2$ пар - равенствам $f(x) = а, f(у) = а,$ и $k_а^2$ пар - равенствам $g(x) = а, g(y) = а$. Поэтому, если $а, b, \cdots, u$ - все значения, принимаемые функцией $f,$ то $m = n_ak_a + n_bk_b + \cdots + n_uk_u, n = n_a^2 + n_b^2 + \cdots + n_u^2, к \leq k_a^2 + k_b^2 + \cdots + k_u^2$.
Используя неравенство $2pq \leq p^2 + q^2$, получаем требуемое.
