Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1697
2019-01-20 
Может ли в наборе из шести чисел $ \left \{ a;b;c; \frac {a^2}{b}; \frac {b^2}{c}; \frac {c^2}{a} \right \}$, где $a, b,c$ - положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
Решение:
Пусть среди чисел $a, b, с$ есть различные, и пусть для определенности $a$ - наибольшее из этих чисел (или одно из наибольших). Если $a > b$, то $a^2/b > a$. Иначе $a = b > c$, и тогда $b^2/с > b = а$. Итак, наибольшее из данных шести чисел больше наибольшего из чисел $a, b, c$. Аналогично, наименьшее из данных шести чисел меньше наименьшего из чисел $a, b, c$. Итого получаем не менее четырех различных чисел. Если же числа $а, b, с$ одинаковы, то $a = b = c = a^2/b = b^2/c = c^2/a$.
Ответ. Не может.
Может ли в наборе из шести чисел $ \left \{ a;b;c; \frac {a^2}{b}; \frac {b^2}{c}; \frac {c^2}{a} \right \}$, где $a, b,c$ - положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
Решение:
Пусть среди чисел $a, b, с$ есть различные, и пусть для определенности $a$ - наибольшее из этих чисел (или одно из наибольших). Если $a > b$, то $a^2/b > a$. Иначе $a = b > c$, и тогда $b^2/с > b = а$. Итак, наибольшее из данных шести чисел больше наибольшего из чисел $a, b, c$. Аналогично, наименьшее из данных шести чисел меньше наименьшего из чисел $a, b, c$. Итого получаем не менее четырех различных чисел. Если же числа $а, b, с$ одинаковы, то $a = b = c = a^2/b = b^2/c = c^2/a$.
Ответ. Не может.
