Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1700
2019-01-20 
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Решение:
Предположим противное. Рассмотрим некоторую точку $A$ с целыми координатами, пусть в ней записано число $а$. Пусть $a$ имеет $n$ различных простых делителей. Возьмем на плоскости точку $А_1$ с целыми координатами. На прямой $AA_1$ имеется точка $B_1$ также с целыми координатами (например, точка $B_1$ , симметричная точке $A$ относительно $A_1$). Поскольку числа, записанные в точках $A, A_1$ и $B_1$, имеют общий делитель, больший 1, они (и, в частности, число $a$) делятся на некоторое простое число $p_1$. Возьмем на плоскости точку $A_2$ с целыми координатами, не лежащую на прямой $AA_1$. На прямой $AA_2$ имеется точка $B_2$ с целыми координатами. Числа, записанные в точках $A, A_2$ и $B_2$ (в частности, число $a$) делятся на некоторое простое число $p_2$. Заметим, что $p_1 \neq p_2$, ибо в противном случае числа, записанные в точках $A, A_1$ и $A_2$, имели бы общий делитель $p_1 = p_2$, что невозможно. Продолжая эту процедуру далее, построим прямые $AA_3, AA_4, \cdots, AA_{n+1}$, каждой из которых соответствует новый простой делитель числа $a$. Таким образом, получаем, что число $a$ имеет $n + 1$ различных простых делителей. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Решение:
Предположим противное. Рассмотрим некоторую точку $A$ с целыми координатами, пусть в ней записано число $а$. Пусть $a$ имеет $n$ различных простых делителей. Возьмем на плоскости точку $А_1$ с целыми координатами. На прямой $AA_1$ имеется точка $B_1$ также с целыми координатами (например, точка $B_1$ , симметричная точке $A$ относительно $A_1$). Поскольку числа, записанные в точках $A, A_1$ и $B_1$, имеют общий делитель, больший 1, они (и, в частности, число $a$) делятся на некоторое простое число $p_1$. Возьмем на плоскости точку $A_2$ с целыми координатами, не лежащую на прямой $AA_1$. На прямой $AA_2$ имеется точка $B_2$ с целыми координатами. Числа, записанные в точках $A, A_2$ и $B_2$ (в частности, число $a$) делятся на некоторое простое число $p_2$. Заметим, что $p_1 \neq p_2$, ибо в противном случае числа, записанные в точках $A, A_1$ и $A_2$, имели бы общий делитель $p_1 = p_2$, что невозможно. Продолжая эту процедуру далее, построим прямые $AA_3, AA_4, \cdots, AA_{n+1}$, каждой из которых соответствует новый простой делитель числа $a$. Таким образом, получаем, что число $a$ имеет $n + 1$ различных простых делителей. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
