Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1785
2019-01-20 
Назовем усреднением последовательности $\{ a_{k} \}$ действительных чисел последовательность $\{ {a}^{ \prime}_k \}$ с общим членом ${a}^{ \prime} _k = \frac{a_k + a_{k+1}}{2}$. Рассмотрим последовательности: $\{ a_k \}$, $\{ a^{ \prime}_k \}$ - ее усреднение, $\{ a^{ \prime \prime}_k \}$ - усреднение последовательности $\{ a^{ \prime}_k \}$, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность $\{ а_{k} \}$ - хорошая. Докажите, что если последовательность ${x_к}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^{2} \}$ - тоже хорошая.
Решение:
Назовем последовательность $m$ -хорошей, если если она сама и первые ее $m$ усреднений состоят из целых чисел. Докажем, пользуясь методом математической индукции, что если последовательность $\{x_k \}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_{k}^{2} \}$ - $m$-хорошая для любого целого неотрицательного числа $m$. Из этого и вытекает утверждение задачи. Очевидно, что если последовательность $\{ x_k \}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^2 \}$ - 0-хорошая. Предположим, что последовательность $\{x_k \}$ - $m$-хорошая, и докажем, что она $(m + 1)$-хорошая. Это следует из тождества $\frac{x_k^2 + x_{k+1}^2}{2} = (\frac{x_k + x_{k+1}}{2})^2 + (\frac{x_k + x_{k+1}}{2}) - x_{k+1})^2$, так как последовательности с общими членами $\frac {x_k + x_{k+1}}{2} $ и $\frac{x_k + x_{k+1}}{2} - x_{k+1}$ - хорошие, а поэтому, согласно индуктивному предположению, их квадраты - $m$-хорошие последовательности, т. е. последовательность $\{ x_k^2 \}$ - $(m + 1)$-хорошая.
Замечание 1. Нетривиальный пример хорошей последовательности дает арифметическая прогрессия с четной разностью, состоящая из целых чисел, например: $1, 3, 5, 7,\cdots$.
Замечание 2. Изменим определение усреднения последовательности на более общее: $a_k^{\prime} = \frac{a_k + a_{k+1} + \cdots + a_{k+p-1}}{p}; p \in \mathbb{N}$. Известно доказательство аналогичного утверждения (если $\{ x_k \}$ - хорошая, то и $\{ x_k^p \}$ - хорошая) при $p = 3$. Интересно было бы выяснить, при каких $p$ оно справедливо. Гипотеза: только при простых $p$.
Назовем усреднением последовательности $\{ a_{k} \}$ действительных чисел последовательность $\{ {a}^{ \prime}_k \}$ с общим членом ${a}^{ \prime} _k = \frac{a_k + a_{k+1}}{2}$. Рассмотрим последовательности: $\{ a_k \}$, $\{ a^{ \prime}_k \}$ - ее усреднение, $\{ a^{ \prime \prime}_k \}$ - усреднение последовательности $\{ a^{ \prime}_k \}$, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность $\{ а_{k} \}$ - хорошая. Докажите, что если последовательность ${x_к}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^{2} \}$ - тоже хорошая.
Решение:
Назовем последовательность $m$ -хорошей, если если она сама и первые ее $m$ усреднений состоят из целых чисел. Докажем, пользуясь методом математической индукции, что если последовательность $\{x_k \}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_{k}^{2} \}$ - $m$-хорошая для любого целого неотрицательного числа $m$. Из этого и вытекает утверждение задачи. Очевидно, что если последовательность $\{ x_k \}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^2 \}$ - 0-хорошая. Предположим, что последовательность $\{x_k \}$ - $m$-хорошая, и докажем, что она $(m + 1)$-хорошая. Это следует из тождества $\frac{x_k^2 + x_{k+1}^2}{2} = (\frac{x_k + x_{k+1}}{2})^2 + (\frac{x_k + x_{k+1}}{2}) - x_{k+1})^2$, так как последовательности с общими членами $\frac {x_k + x_{k+1}}{2} $ и $\frac{x_k + x_{k+1}}{2} - x_{k+1}$ - хорошие, а поэтому, согласно индуктивному предположению, их квадраты - $m$-хорошие последовательности, т. е. последовательность $\{ x_k^2 \}$ - $(m + 1)$-хорошая.
Замечание 1. Нетривиальный пример хорошей последовательности дает арифметическая прогрессия с четной разностью, состоящая из целых чисел, например: $1, 3, 5, 7,\cdots$.
Замечание 2. Изменим определение усреднения последовательности на более общее: $a_k^{\prime} = \frac{a_k + a_{k+1} + \cdots + a_{k+p-1}}{p}; p \in \mathbb{N}$. Известно доказательство аналогичного утверждения (если $\{ x_k \}$ - хорошая, то и $\{ x_k^p \}$ - хорошая) при $p = 3$. Интересно было бы выяснить, при каких $p$ оно справедливо. Гипотеза: только при простых $p$.
