ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
Найдите все функции $f(x)$, определенные при всех положительных $x$, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных $x$ и $у$ равенству $f(x^y) = f(x)^{f(y)}$.


Решение:


Заметив, что $f(x) \equiv 1$ удовлетворяет условию задачи, будем искать другие решения.

Пусть $f(a) \neq 1$ при некотором $a > 0$. Тогда из равенств $f(a)^{f(xy)} = f(a^{xy}) = f(a^x)^{f(y)} = f(a)^{f(x) \cdot f(y)}$ следует, что

$f(xy) = f(x) \cdot f(y)$ (1)

для любых $x, y > 0$. А тогда из равенств $f(a)^{f(x+y)} = f(a^{x+y}) = f(a^x) \cdot f(a^y) = f(a)^{f(x)} \cdot f(a)^{f(y)} = f(a)^{f(x)+f(y)}$ следует, что

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ (2)

для любых $x, y > 0$. Из (1) имеем

$f(1)= f (1 \cdot 1) = f (1)^2$,

т. е. $f(1) = 1$, а затем из (2) и (1) получаем

$f(n) = f(1 + \cdots + 1) = f(1) + \cdots + f(1) = n$,
$f(\frac{m}{n}) \cdot = f (\frac{m}{n}) \cdot f(n) = f(m) = m$,

т. е. для любых $m, n \in \mathbb{N}$

$f (\frac{m}{n}) = \frac{m}{n}$.(3)

Предположим, что для некоторого $x > 0$ имеет место неравенство $f(x) \neq x$, скажем, $f(x) < x$ (случай $f(x) > x$ рассматривается аналогично). Подобрав число $у = \frac{m}{n}$ так, чтобы выполнялись неравенства

$f(x) < y < x$,

из (2) и (3) получаем противоречащее им неравенство.

$f(x) = f(y +(x - y)) = f(y) + f(x - y) > f(y) = y$.

Итак, сделанное выше предположение неверно, поэтому $f(x) = x$ для любого $x > 0$, и, разумеется, найденная функция годится.
Ответ. $f(x) \equiv 1, f (x) \equiv Х$.