Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1736
2019-01-20 
Арифметическая прогрессия $a_1, a_2,\cdots$, состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение $an \cdot a_{n+31}$ делится на 2005. Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
Решение:
Пусть $d$ - разность прогрессии. Если для всех $n$ число $a_{n+31} \vdots 5$, то $d \vdots 5$. Если же при некотором $n$ число $a_{n+31} \vdots 5$, то $a_n \vdots 5$ и $a_{n+62} \vdots 5$, значит, $a_{n+62} - a_n = 62d \vdots 5$. Но тогда $d \vdots 5$, поскольку 5 и 62 взаимно просты. Итак, в любом случае $d \vdots 5$. Отсюда $a_n^2 = a_n \cdots a_{n+31} - 31a_nd \vdots 5$, и, поскольку 5 - простое число, $a_n \vdots 5$.
Аналогично, пользуясь простотой числа 401, получаем, что $a_n \vdots 401$.
Поскольку 5 и 401 взаимно просты, $a_n$ делится на $5 \cdots 401 = 2005$ при любом $n$.
Ответ. Можно.
Арифметическая прогрессия $a_1, a_2,\cdots$, состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение $an \cdot a_{n+31}$ делится на 2005. Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
Решение:
Пусть $d$ - разность прогрессии. Если для всех $n$ число $a_{n+31} \vdots 5$, то $d \vdots 5$. Если же при некотором $n$ число $a_{n+31} \vdots 5$, то $a_n \vdots 5$ и $a_{n+62} \vdots 5$, значит, $a_{n+62} - a_n = 62d \vdots 5$. Но тогда $d \vdots 5$, поскольку 5 и 62 взаимно просты. Итак, в любом случае $d \vdots 5$. Отсюда $a_n^2 = a_n \cdots a_{n+31} - 31a_nd \vdots 5$, и, поскольку 5 - простое число, $a_n \vdots 5$.
Аналогично, пользуясь простотой числа 401, получаем, что $a_n \vdots 401$.
Поскольку 5 и 401 взаимно просты, $a_n$ делится на $5 \cdots 401 = 2005$ при любом $n$.
Ответ. Можно.
