Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1812
2019-01-20 
Дана последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, \cdots, a_n, \cdots $, в которой $а_1$ не делится на 5 и для всякого $n$ имеет место равенство $a_{n+1} = a_n + b_n$: где $b_n$ - последняя цифра числа $a_n$. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Решение:
По условию $b_1$ отлично от 0 и 5, поэтому $b_2$ есть одно из чисел 2, 4, 6 или 8, но тогда последовательность $b_2, b_3,\cdots $ является периодической с периодом 4:
$ \cdots, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots $
Поэтому для любого $n > 1 a_{n+4} = a_n + (2 + 4 + 8 + 6)$ и для любого $s > 1 a_{n+4s} = a_n + 20s$.
Из двух членов последовательности $a_n = 10m +2$ и $a_{n+1} = 10m + 4$ хотя бы одно число делится на 4, пусть это будет число $a_{n_1} = 4l$. Тогда $a_{n_1+4_s} = 4(l + 5s)$, и осталось доказать, что среди чисел вида $l + 5s$ бесконечно много степеней двойки.
Последнее следует из того, что остатки от деления на 5 степеней двойки образуют периодическую последовательность:
$ 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, \cdots $
и, следовательно, бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число $l$.
Дана последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, \cdots, a_n, \cdots $, в которой $а_1$ не делится на 5 и для всякого $n$ имеет место равенство $a_{n+1} = a_n + b_n$: где $b_n$ - последняя цифра числа $a_n$. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Решение:
По условию $b_1$ отлично от 0 и 5, поэтому $b_2$ есть одно из чисел 2, 4, 6 или 8, но тогда последовательность $b_2, b_3,\cdots $ является периодической с периодом 4:
$ \cdots, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots $
Поэтому для любого $n > 1 a_{n+4} = a_n + (2 + 4 + 8 + 6)$ и для любого $s > 1 a_{n+4s} = a_n + 20s$.
Из двух членов последовательности $a_n = 10m +2$ и $a_{n+1} = 10m + 4$ хотя бы одно число делится на 4, пусть это будет число $a_{n_1} = 4l$. Тогда $a_{n_1+4_s} = 4(l + 5s)$, и осталось доказать, что среди чисел вида $l + 5s$ бесконечно много степеней двойки.
Последнее следует из того, что остатки от деления на 5 степеней двойки образуют периодическую последовательность:
$ 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, \cdots $
и, следовательно, бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число $l$.
