Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1689
2019-01-20 
Функции $f(x)- x$ и $f(x^2) - x^6$ определены при всех положительных $x$ и возрастают. Докажите, что функция $f(x^3)- \frac { \sqrt {3}}{2}x^6$ также возрастает при всех положительных $x$.
Решение:
По условию функция $f(x) - x$ возрастает. Следовательно, $f(x) - x > f(y) - y$ при любых $x > y > 0$. Значит,
$f(x) - f(y) > x - y$ (*).
Аналогично, из возрастания функции $f(x^2) - x^6$ заключаем, что
$f(x) - f(y) > x^3 - y^3$. (**)
Для того чтобы проверить, что функция $f(x^3) - \frac{\sqrt{3}}{2}x^6$ возрастает, достаточно установить, что $f(x) - f(y) > \frac{\sqrt{3}}{2} (x^2 - у^2)$ при всех $x > у > 0$. Проверим это с помощью неравенств (*) и (**). Для этого докажем неравенство $max \{1, x^2 + xy + y^2 \} \geq \frac{\sqrt{3}}{2} (x + у)$.
Действительно,
$max \{ 1, x^2 + xy + y^2 \} \geq \sqrt{x^2 + xy + y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$,
поскольку
$4(x^2 + xy + y^2) - 3(x + y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \geq 0$.
Следовательно, $\frac {\sqrt {3}}{2}(x^2 - y^2)$ не превосходит наибольшего из чисел $x - у$ и $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Значит, $f(x) - f(y) > max \{ x - y, x^3 - y^3 \} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x^2-у^2)$.
Функции $f(x)- x$ и $f(x^2) - x^6$ определены при всех положительных $x$ и возрастают. Докажите, что функция $f(x^3)- \frac { \sqrt {3}}{2}x^6$ также возрастает при всех положительных $x$.
Решение:
По условию функция $f(x) - x$ возрастает. Следовательно, $f(x) - x > f(y) - y$ при любых $x > y > 0$. Значит,
$f(x) - f(y) > x - y$ (*).
Аналогично, из возрастания функции $f(x^2) - x^6$ заключаем, что
$f(x) - f(y) > x^3 - y^3$. (**)
Для того чтобы проверить, что функция $f(x^3) - \frac{\sqrt{3}}{2}x^6$ возрастает, достаточно установить, что $f(x) - f(y) > \frac{\sqrt{3}}{2} (x^2 - у^2)$ при всех $x > у > 0$. Проверим это с помощью неравенств (*) и (**). Для этого докажем неравенство $max \{1, x^2 + xy + y^2 \} \geq \frac{\sqrt{3}}{2} (x + у)$.
Действительно,
$max \{ 1, x^2 + xy + y^2 \} \geq \sqrt{x^2 + xy + y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$,
поскольку
$4(x^2 + xy + y^2) - 3(x + y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \geq 0$.
Следовательно, $\frac {\sqrt {3}}{2}(x^2 - y^2)$ не превосходит наибольшего из чисел $x - у$ и $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Значит, $f(x) - f(y) > max \{ x - y, x^3 - y^3 \} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x^2-у^2)$.
