Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1731
2019-01-20 
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия ${a_n}_{n\in N}$ из натуральных чисел, что произведение $a_n + \cdots + a_{n+9}$ делится на сумму $a_n + \cdots + a_{n+9}$ при любом натуральном $n$?
Решение:
Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда $A_n = (2a_n) \cdot\cdots \cdot(2a_{n+9})$ делится на $B_n = a_{n+4} + a{n+5}$ при любом натуральном $n$. С другой стороны, обозначив через $d$ разность прогрессии, имеем $A_n = (B_n - 9d)(B_n - 7d) \cdot\cdots \cdot (B_n - d)(B_n + d) \cdot\cdots \cdot (B_n + 7d)(B_n + 9d)$. Значит, $A_n = B_nC_n + D$, где $C_n$ - целое число, $D = -d^{10} (1 \cdot 3 \cdot\cdots\cdot 7 \cdot 9)^2$. Из этого равенства ясно, что $A_n$ не делится на $B_n$ при $B_n > D$. Противоречие.
Ответ. Не существует.
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия ${a_n}_{n\in N}$ из натуральных чисел, что произведение $a_n + \cdots + a_{n+9}$ делится на сумму $a_n + \cdots + a_{n+9}$ при любом натуральном $n$?
Решение:
Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда $A_n = (2a_n) \cdot\cdots \cdot(2a_{n+9})$ делится на $B_n = a_{n+4} + a{n+5}$ при любом натуральном $n$. С другой стороны, обозначив через $d$ разность прогрессии, имеем $A_n = (B_n - 9d)(B_n - 7d) \cdot\cdots \cdot (B_n - d)(B_n + d) \cdot\cdots \cdot (B_n + 7d)(B_n + 9d)$. Значит, $A_n = B_nC_n + D$, где $C_n$ - целое число, $D = -d^{10} (1 \cdot 3 \cdot\cdots\cdot 7 \cdot 9)^2$. Из этого равенства ясно, что $A_n$ не делится на $B_n$ при $B_n > D$. Противоречие.
Ответ. Не существует.
