Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1699
2019-01-20 
Набор пятизначных чисел $\{ N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.
Решение:
Докажем, что условию удовлетворяет набор из одного числа 13579. В самом деле, пусть $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ - пятизначное число, цифры которого удовлетворяют неравенствам $а_1 < а_2 < а_3 < а_4 < а_5$. Тогда, если $а_1 \neq 1$, то
$2 \leq а_1 < а_2$. Если при этом $а_2 \neq 3,$ то $4 \leq а_2 < а_3$. Если, кроме того, $а_3 \neq 5,$ то $6 \leq а_3 < а_4$. Предположив еще, что $а_4 \neq 7$, получим $8 \leq а_4 < а_5$, т. е. равенство $а_5 = 9$, означающее совпадение цифр в разряде единиц.
Ответ. 1.
Набор пятизначных чисел $\{ N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.
Решение:
Докажем, что условию удовлетворяет набор из одного числа 13579. В самом деле, пусть $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ - пятизначное число, цифры которого удовлетворяют неравенствам $а_1 < а_2 < а_3 < а_4 < а_5$. Тогда, если $а_1 \neq 1$, то
$2 \leq а_1 < а_2$. Если при этом $а_2 \neq 3,$ то $4 \leq а_2 < а_3$. Если, кроме того, $а_3 \neq 5,$ то $6 \leq а_3 < а_4$. Предположив еще, что $а_4 \neq 7$, получим $8 \leq а_4 < а_5$, т. е. равенство $а_5 = 9$, означающее совпадение цифр в разряде единиц.
Ответ. 1.
