Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12991
2023-05-08 
Из произвольной точки $D$, лежащей на описанной окружности фиксированного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $P$ и $Q$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что наибольшее значение длины отрезка $PQ$ равно длине стороны $BC$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности. По теореме синусов (см. задачу 8113) $BC=2R\sin\angle A$. Из точек $P$ и $Q$ отрезок $AD$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AD$. Отрезок $PQ$ наибольший, если наибольший отрезок $AD$, т.е. когда $AD$ - диаметр окружности. В этом случае $AD=2R$, поэтому
$PQ=AD\sin\angle A=2R\sin\angle A=BC.$
Из произвольной точки $D$, лежащей на описанной окружности фиксированного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $P$ и $Q$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что наибольшее значение длины отрезка $PQ$ равно длине стороны $BC$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности. По теореме синусов (см. задачу 8113) $BC=2R\sin\angle A$. Из точек $P$ и $Q$ отрезок $AD$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AD$. Отрезок $PQ$ наибольший, если наибольший отрезок $AD$, т.е. когда $AD$ - диаметр окружности. В этом случае $AD=2R$, поэтому
$PQ=AD\sin\angle A=2R\sin\angle A=BC.$
