Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12986
2023-05-08 
Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ касаются данной в вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha\beta}$ - длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta\gamma}$, $t_{\gamma\delta}$ и т.д. определяются аналогично. Докажите, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}$
(обобщённая теорема Птолемея).
Решение:
Пусть радиус данной окружности равен $R$, $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ и $r_{d}$ - радиусы окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ соответственно. Пусть $a=\sqrt{R\pm r_{a}}$, причём знак плюс берётся в случае внешнего касания, а знак минус - в случае внутреннего. Аналогично определяются числа $b$, $c$ и $d$.
Тогда $t_{\alpha\beta}=\frac{ab\cdot AB}{R}$ (см. задачу 8003). Аналогично,
$t_{\gamma\delta}=\frac{cd\cdot CD}{R},~t_{\beta\gamma}=\frac{bc\cdot BC}{R},~t_{\delta\alpha}=\frac{da\cdot AD}{R},~t_{\alpha\gamma}=\frac{ac\cdot AC}{R},~t_{\beta\delta}=\frac{bd\cdot BD}{R}.$
Применяя теорему Птолемея (см. задачу 3935), получим, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=\frac{ab\cdot AB}{R}\cdot\frac{cd\cdot CD}{R}+\frac{bc\cdot BC}{R}\cdot\frac{da\cdot AD}{R}=\frac{abcd\cdot AB\cdot CD}{R^{2}}+\frac{abcd\cdot BC\cdot AD}{R^{2}}=\frac{abcd}{R^{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)=\frac{abcd}{R^{2}}\cdot AC\cdot BD=\frac{ac\cdot AC}{R}\cdot\frac{bd\cdot BD}{R}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}.$
Что и требовалось доказать.
Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ касаются данной в вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha\beta}$ - длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta\gamma}$, $t_{\gamma\delta}$ и т.д. определяются аналогично. Докажите, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}$
(обобщённая теорема Птолемея).
Решение:
Пусть радиус данной окружности равен $R$, $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ и $r_{d}$ - радиусы окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ соответственно. Пусть $a=\sqrt{R\pm r_{a}}$, причём знак плюс берётся в случае внешнего касания, а знак минус - в случае внутреннего. Аналогично определяются числа $b$, $c$ и $d$.
Тогда $t_{\alpha\beta}=\frac{ab\cdot AB}{R}$ (см. задачу 8003). Аналогично,
$t_{\gamma\delta}=\frac{cd\cdot CD}{R},~t_{\beta\gamma}=\frac{bc\cdot BC}{R},~t_{\delta\alpha}=\frac{da\cdot AD}{R},~t_{\alpha\gamma}=\frac{ac\cdot AC}{R},~t_{\beta\delta}=\frac{bd\cdot BD}{R}.$
Применяя теорему Птолемея (см. задачу 3935), получим, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=\frac{ab\cdot AB}{R}\cdot\frac{cd\cdot CD}{R}+\frac{bc\cdot BC}{R}\cdot\frac{da\cdot AD}{R}=\frac{abcd\cdot AB\cdot CD}{R^{2}}+\frac{abcd\cdot BC\cdot AD}{R^{2}}=\frac{abcd}{R^{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)=\frac{abcd}{R^{2}}\cdot AC\cdot BD=\frac{ac\cdot AC}{R}\cdot\frac{bd\cdot BD}{R}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}.$
Что и требовалось доказать.
