Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12989
2023-05-08 
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Решение:
Первый способ. Пусть $a$ и $b$ - длины двух сторон треугольника, $x$ и $y$ - длины отрезков, на которые высота делит третью сторону, равную $c$, $p$ - полупериметр треугольника (если основание высоты лежит вне стороны, длину одного из отрезков считаем отрицательной). Тогда по теореме Пифагора
$x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}.$
С другой стороны, точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, равные $p-a$ и $p-b$ (см. задачу 4014). Значит, условие задачи равносильно равенству
$p-a-\frac{x+y}{2}=p-b-y,~\mbox{или}~x-y=2(a-b).$
Разделив первое равенство на второе, получим, что длина третьей стороны равна
$x+y=\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{2}(2p-c)=p-\frac{1}{2}c,~\mbox{или}~c=p-\frac{1}{2}c,$
откуда $c=\frac{2p}{3}$.
Второй способ. Пусть $c$ - длина стороны $AB$ треугольника $ABC$, $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $p$ - полупериметр треугольника, $S$ - площадь.
Пусть $K$ и $P$ - точки касания с этой стороной вписанной и вневписанной окружностей соответственно, $M$ - середина стороны $AB$, $I$ и $Q$ - центры этих окружностей.
При гомотетии с центром $C$ точка $P$ переходит в точку $T$ вписанной окружности, диаметрально противоположную точке $K$ (см. задачу 4511), а т.к. $M$ - середина отрезка $PK$ (см. задачу 7916), то $MI$ - средняя линия треугольника $PKT$. Значит, $MI\parallel CP$.
Пусть $N$ - точка пересечения прямых $MI$ и $CH$. Тогда четырёхугольник $CTIN$ - параллелограмм, поэтому $CN=IT=IK=r$, а т.к. по условию задачи $K$ - середина $MH$, то $NH=2IK=2r$. Следовательно, $CH=3r$.
Тогда $S=\frac{1}{2}c\cdot CH=pr$, или $\frac{1}{2}c\cdot3r=pr$. Следовательно, $c=\frac{2p}{3}$.
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Решение:
Первый способ. Пусть $a$ и $b$ - длины двух сторон треугольника, $x$ и $y$ - длины отрезков, на которые высота делит третью сторону, равную $c$, $p$ - полупериметр треугольника (если основание высоты лежит вне стороны, длину одного из отрезков считаем отрицательной). Тогда по теореме Пифагора
$x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}.$
С другой стороны, точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, равные $p-a$ и $p-b$ (см. задачу 4014). Значит, условие задачи равносильно равенству
$p-a-\frac{x+y}{2}=p-b-y,~\mbox{или}~x-y=2(a-b).$
Разделив первое равенство на второе, получим, что длина третьей стороны равна
$x+y=\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{2}(2p-c)=p-\frac{1}{2}c,~\mbox{или}~c=p-\frac{1}{2}c,$
откуда $c=\frac{2p}{3}$.
Второй способ. Пусть $c$ - длина стороны $AB$ треугольника $ABC$, $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $p$ - полупериметр треугольника, $S$ - площадь.
Пусть $K$ и $P$ - точки касания с этой стороной вписанной и вневписанной окружностей соответственно, $M$ - середина стороны $AB$, $I$ и $Q$ - центры этих окружностей.
При гомотетии с центром $C$ точка $P$ переходит в точку $T$ вписанной окружности, диаметрально противоположную точке $K$ (см. задачу 4511), а т.к. $M$ - середина отрезка $PK$ (см. задачу 7916), то $MI$ - средняя линия треугольника $PKT$. Значит, $MI\parallel CP$.
Пусть $N$ - точка пересечения прямых $MI$ и $CH$. Тогда четырёхугольник $CTIN$ - параллелограмм, поэтому $CN=IT=IK=r$, а т.к. по условию задачи $K$ - середина $MH$, то $NH=2IK=2r$. Следовательно, $CH=3r$.
Тогда $S=\frac{1}{2}c\cdot CH=pr$, или $\frac{1}{2}c\cdot3r=pr$. Следовательно, $c=\frac{2p}{3}$.
