Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12990
2023-05-08 
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Докажите, что $AB+AC\leq2AD$.
Решение:
Первый способ. Равные вписанные углы $BAD$ и $CAD$ опираются на равные хорды $BD=CD$. По теореме Птолемея
$AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC,~\mbox{или}~AB\cdot BD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.$
Учитывая, что $BC\lt BD+CD=2BD$ (неравенство треугольника), получим
$AB+AC=\frac{AD\cdot BC}{BD}\lt\frac{AD\cdot2BD}{BD}=2AD.$
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть $P$ - проекция точки $D$ на прямую $AC$. Тогда $AP=\frac{AB+AC}{2}$ (формула Архимеда, задача 3976). В прямоугольном треугольнике $APD$ катет $AP$ меньше гипотенузы $AD$, т.е.
$\frac{AB+AC}{2}=AP\lt AD.$
Следовательно, $AB+AC\leq2AD$.
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Докажите, что $AB+AC\leq2AD$.
Решение:
Первый способ. Равные вписанные углы $BAD$ и $CAD$ опираются на равные хорды $BD=CD$. По теореме Птолемея
$AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC,~\mbox{или}~AB\cdot BD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.$
Учитывая, что $BC\lt BD+CD=2BD$ (неравенство треугольника), получим
$AB+AC=\frac{AD\cdot BC}{BD}\lt\frac{AD\cdot2BD}{BD}=2AD.$
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть $P$ - проекция точки $D$ на прямую $AC$. Тогда $AP=\frac{AB+AC}{2}$ (формула Архимеда, задача 3976). В прямоугольном треугольнике $APD$ катет $AP$ меньше гипотенузы $AD$, т.е.
$\frac{AB+AC}{2}=AP\lt AD.$
Следовательно, $AB+AC\leq2AD$.
