Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12994
2023-05-08 
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, причём прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке $P$. Докажите, что прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке $Q$.
Решение:
Известно, что
$\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}$
(см. задачу 5292). По условию задачи прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ симметричны прямым соответственно $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ относительно соответствующих биссектрис, поэтому
$\angle ACC_{2}=\angle C_{1}CB,~\angle C_{2}CB=\angle ACC_{1}$
и т.д. Значит,
$\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}=\frac{\sin\angle C_{1}CB}{\sin\angle ACC_{1}}\cdot\frac{\sin\angle A_{1}AC}{\sin\angle BAA_{1}}\cdot\frac{\sin\angle B_{1}BA}{\sin\angle CBB_{1}}=\frac{C_{1}B}{AC_{1}}\cdot\frac{A_{1}C}{BA_{1}}\cdot\frac{B_{1}A}{CB_{1}}=1.$
Следовательно,
$\frac{AC_{2}}{C_{2}B}\cdot\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{B_{2}A}=1,$
и по теореме Чевы (см. задачу 5230) прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ пересекаются в одной точке.
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, причём прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке $P$. Докажите, что прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке $Q$.
Решение:
Известно, что
$\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}$
(см. задачу 5292). По условию задачи прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ симметричны прямым соответственно $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ относительно соответствующих биссектрис, поэтому
$\angle ACC_{2}=\angle C_{1}CB,~\angle C_{2}CB=\angle ACC_{1}$
и т.д. Значит,
$\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}=\frac{\sin\angle C_{1}CB}{\sin\angle ACC_{1}}\cdot\frac{\sin\angle A_{1}AC}{\sin\angle BAA_{1}}\cdot\frac{\sin\angle B_{1}BA}{\sin\angle CBB_{1}}=\frac{C_{1}B}{AC_{1}}\cdot\frac{A_{1}C}{BA_{1}}\cdot\frac{B_{1}A}{CB_{1}}=1.$
Следовательно,
$\frac{AC_{2}}{C_{2}B}\cdot\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{B_{2}A}=1,$
и по теореме Чевы (см. задачу 5230) прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ пересекаются в одной точке.
