Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12988
2023-05-08 
В трапецию $ABCD$ ($BC\parallel AD$) вписана окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а оснований $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.
а) Пусть $Q$ - точка пересечения отрезков $BM$ и $AN$. Докажите, что $KQ\parallel AD$.
б) Докажите, что $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
Решение:
а) Из подобия треугольников $BQN$ и $MQA$ получаем, что $\frac{BQ}{QM}=\frac{BN}{AM}$, а т.к. $BK=BN$ и $AK=AM$, то $\frac{BQ}{QM}=\frac{BK}{AK}$. Следовательно, $KQ\parallel AD$.
б) Пусть $O$ - центр окружности радиуса $r$, вписанной в трапецию. Тогда $\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$ (см. задачу 4107). Отрезки $OK$ и $OL$ - высоты прямоугольных треугольников $AOB$ и $COD$, проведённые из вершин прямых углов, поэтому $AK\cdot KB=OK^{2}=r^{2}$ и $CL\cdot LD=OL^{2}=r^{2}$ (см. задачу 6185). Следовательно, $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
В трапецию $ABCD$ ($BC\parallel AD$) вписана окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а оснований $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.
а) Пусть $Q$ - точка пересечения отрезков $BM$ и $AN$. Докажите, что $KQ\parallel AD$.
б) Докажите, что $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
Решение:
а) Из подобия треугольников $BQN$ и $MQA$ получаем, что $\frac{BQ}{QM}=\frac{BN}{AM}$, а т.к. $BK=BN$ и $AK=AM$, то $\frac{BQ}{QM}=\frac{BK}{AK}$. Следовательно, $KQ\parallel AD$.
б) Пусть $O$ - центр окружности радиуса $r$, вписанной в трапецию. Тогда $\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$ (см. задачу 4107). Отрезки $OK$ и $OL$ - высоты прямоугольных треугольников $AOB$ и $COD$, проведённые из вершин прямых углов, поэтому $AK\cdot KB=OK^{2}=r^{2}$ и $CL\cdot LD=OL^{2}=r^{2}$ (см. задачу 6185). Следовательно, $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
